Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AMCD, BMEF$ là hình vuông

$\to AM=MC=CD=DA, EM=MB=MF=FE$

Xét $\Delta AME,\Delta CMB$ có:

$ME=MB$

$\widehat{EMA}=\widehat{CMB}$

$MA=MC$

$\to\Delta AME=\Delta CMB(c.g.c)$

Gọi $BC\cap AE=H$

$\to \widehat{HEC}=\widehat{AEM}=\widehat{CBM}$

Mà $\widehat{HCE}=\widehat{MCB}$

$\to\Delta HCE\sim\Delta MCB(g.g)$

$\to\widehat{CHE}=\widehat{CMB}=90^o$

$\to AE\perp BC$

b.Ta có $G,I,N,K$ là trung điểm $AB,AC, CE, EB$

$\to GI, NI, NK, KG$ là đường trung bình $\Delta ACB , \Delta CAE,\Delta ECB,\Delta BEM$

$\to NI//AE//GK, NK//BC//GI$

$\to NKGI$ là hình bình hành

Mặt khác $NI=\dfrac12AE=\dfrac12CB=NK$

$\to NKGI$ là hình thoi

Lại có $BC\perp AE\to NK\perp NI\to GINK$ là hình vuông

c.Gọi $AC\cap BE=J$

$\to \widehat{JAB}=\widehat{CAM}=45^o=\widehat{EBM}=\widehat{JBA}$

$\to\Delta JAB$ vuông cân tại $J$

$\to J$ cố định

$\to AJ\perp BE$

Gọi $AH\cap DC=L$

$\to \widehat{ADL}=\widehat{LHC}=90^o$

Mà $\widehat{DLA}=\widehat{HLC}$

$\to\Delta DLA\sim\Delta HLC(g.g)$

$\to \dfrac{LD}{LH}=\dfrac{LA}{LC}$

$\to\dfrac{LD}{LA}=\dfrac{LH}{LC}$

Lại có $\widehat{DLH}=\widehat{ALC}$

$\to\Delta DLH\sim\Delta ALC(c.g.c)$

$\to \widehat{DHL}=\widehat{LCA}=\widehat{DCA}=45^o$

Tương tự $\widehat{JHC}=\widehat{CAB}=\widehat{CAM}=45^o$

$\to\widehat{DHJ}=\widehat{DHA}+\widehat{AHC}+\widehat{CHJ}=180^o$

$\to D,H,J$ thẳng hàng

Ta có: $\Delta BEF$ vuông cân tại $F, K$ là trung điểm $BE$

$\to FK\perp BE$

$\to FK//AJ\to FK//IJ$

Mà $IJ=JA-IA=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}-\dfrac12AM\sqrt{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(AB-AM)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}MB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BF=KE=KF$

$\to IJFK$ là hình bình hành

$\to FJ//IK$

Ta có $DM\perp AC, BE\perp AJ$

$\to DM//BE\to DI//JK$

Mà $JK=JB-KB=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}-\dfrac12BE=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}-\dfrac12\cdot BM\sqrt{2}=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}-\dfrac{BM}{\sqrt{2}}=\dfrac{AM}{\sqrt{2}}=IM=ID$

$\to DIKJ$ là hình bình hành

$\to DJ//IK$

Lại có $FJ//IK \to D,J,F$ thẳng hàng

Do $D,H,J$ thẳng hàng

$\to D,H,J,F$ thẳng hàng

$\to DF$ đi qua $J$ cố định

d.Ta có $NKGI$ là hình vuông, $Q$ là trung điểm $IK$

$\to NG\perp IK=Q$ là trung điểm mỗi đường và $QN=QG=GI=GK$

Do $\Delta IJK$ vuông tại $J$ do $AJ\perp BE$

$\to QJ=QK=QI$

$\to QJ=QG\to Q\in$ trung trực của $JG$ cố định