`a)` $∆ABC$ vuông cân tại $A$ (gt)

`=>AB=AC`

`\qquad \hat{BAC}=90°`

`=>\hat{BAH}+\hat{CAI}=90°` $(1)$

$CI\perp AD$ tại $I$ (gt)

`=>∆ACI` vuông tại $I$

`=>\hat{CAI}+\hat{ACI}=90°` (hai góc phụ nhau) $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{BAH}=\hat{ACI}`

Xét $∆ABH$ và $∆CAI$ có:

`\hat{AHB}=\hat{CIA}=90°`

$AB=CA$ (c/m trên)

`\hat{BAH}=\hat{ACI}` (c/m trên)

`=>∆ABH=∆CAI(ch-gn)`

`=>BH=AI` (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

$\\$

`b)` $∆ABH$ vuông tại $H$

`=>BH^2+AH^2=AB^2` (định lý Pytago)

Mà $∆ABH=∆CAI$ (câu a)

`=>AH=CI`

`=>BH^2+CI^2=AB^2`

Vì $AB$ không đổi nên $BH^2+CI^2=AB^2$ có giá trị không đổi (đpcm)

$\\$

`c)` 

$∆BDH$ vuông tại $H$

`=>\hat{MBH}+\hat{BDH}=90°` (hai góc phụ nhau) $(3)$

$∆ABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến 

`=>AM=BM= 1/ 2 BC`

`\qquad AM` đồng thời là đường cao của $∆ABC$

`=>AM`$\perp BC$

`=>∆AMD` vuông tại $M$

`=>\hat{MAD}+\hat{MDA}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{MAI}+\hat{BDH}=90°` $(4)$

Từ `(3);(4)=>\hat{MBH}=\hat{MAI}`

Xét $∆MBH$ và $∆MAI$ có:

`BM=AM` (c/m trên)

`\hat{MBH}=\hat{MAI}` (c/m trên)

`BH=AI` (câu a)

`=>∆MBH=∆MAI` (c-g-c)

`=>\hat{MHB}=\hat{MIA}` (hai góc tương ứng)

`=>\hat{MHB}=\hat{MIH}`

`\qquad MH=MI` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆MHI` cân tại $M$

`=>\hat{MHI}=\hat{MIH}`

Ta có:

`\qquad \hat{BHI}=90°`

`=>\hat{MHB}+\hat{MHI}=90°`

`=>\hat{MIH}+\hat{MIH}=90°`

`=>2\hat{MIH}=90°`

`=>\hat{MIH}={90°}/2=45°`

Ta lại có:

`\hat{HIN}=90°`

`=>\hat{MIH}+\hat{MIN}=90°`

`=>\hat{MIN}=90°-\hat{MIH}=90°-45°=45°`

`=>\hat{MIH}=\hat{MIN}`

Mà tia $IM$ nằm giữa hai tia $IH$ và $IN$

`=>IM` là tia phân giác của `\hat{HIN}` (đpcm)