a,

Xét ΔDHE và ΔDHF có:

      DE = DF(gt)

      DH chung;

       HE  = HF (gt)

⇒ ΔDHE = ΔDHF (c.c.c) 

từ H là trung điểm của EF ⇒ AH là đường trung tuyến  

mà trong Δ cân đường trung tuyến đồng thời là đường p/giac , trung trực , đường cao

⇒ DH ⊥ EF  

b, ΔDHE = ΔDHF (c.c.c) 

⇒ ∠D1 =∠D2 (  hai góc tương ứng )

Xét 2 Δ vuông ΔHDM và ΔHDN có:

 ∠D1 =∠D2 ( cmt)

  HD chung

⇒ ΔHDM = ΔHDN (c.h - g.n)

⇒ HM = HN ( hai cạnh tương ứng )⇒ ΔHMN cân tại H (đpcm)

c, ΔHDM = ΔHDN (c.h - g.n) ⇒ DM = DN

⇒ ΔDMN cân tại D ⇒ ∠DMN= (180− ∠D )/2

ΔDEF cân tại D ⇒ ∠DEF = (180−∠D ) /2

⇒ ∠DEF = ∠DMN  ( mà hai góc này ở vị trí đồng vị )

⇒ MN // EF

c)

Xét 2 Δ vuông ΔDKE và ΔDKF có:

  DK chung

  DE = DF ( gt)

⇒ ΔDKE = ΔDKF (ch-cgv)

⇒ ∠EDK = ∠FDK

⇒ DK là phân giác của ∠EDF (1)

Mà DH là đương trung tuyến đồng thời là đương p/giac của ∠EDF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ D, H, K thẳng hàng.