Mình làm theo đề bài sau:  Tìm số tự nhiên n sao cho `4n + 3` và `2n + 3` nguyên tố cùng nhau.

Giải:

Gọi `d` là `ƯC(4n + 3, 2n + 3)` `(d ∈ NN`*)

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}4n + 3 \vdots d\\2n + 3 \vdots d\end{array} \right.$

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}4n + 3 \vdots d\\2(2n + 3) \vdots d\end{array} \right.$

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}4n + 3 \vdots d\\4n + 6 \vdots d\end{array} \right.$

`⇒ (4n + 6) - (4n + 3) \vdots d`

`⇒ 4n + 6 - 4n - 3 \vdots d`

`⇒ 3 \vdots d` `(d ∈ NN`*)

`⇒ d ∈ { 1 ; 3 }`

Để `4n + 3` và `2n + 3` nguyên tố cùng nhau `⇔ d` $\neq$ `3`

`⇒ 4n + 3` $\not\vdots$ `3`

`⇒ 4n + 3 - 3` $\not\vdots$ `3`

`⇒ 4n` $\not\vdots$ `3`

`⇒ n` $\not\vdots$ `3` `⇒ n` $\neq$ `3k`.

Tương tự với `2n + 3`.

Vậy để `(4n + 3, 2n + 3) = 1` thì `n` $\neq$ `3k`.

Nếu đề là tìm số tự nhiên n: $(4n+3)\vdots 2n+3$

Giải thích các bước giải:

$(4n+3)\vdots 2n+3$ $(x∈\mathbb{N})$

Ta có:

$\dfrac{4n+3}{2n+3}$

$=\dfrac{4n+6-3}{2n+3}$

$=2+\dfrac{-3}{2n+3}$

Để $(4n+3)\vdots 2n+3$

$⇒-3\vdots 2n+3$

$⇒2n+3∈Ư(-3)$

$⇒2n+3∈\{±1;±3\}$

Ta có bảng sau:

$\begin{array}{|c|c|}\hline 2n+3&-3&-1&1&3\\\hline n&-3_{(ktm)}&-2_{(ktm)}&-1_{(ktm)}&0_{(tm)}\\\hline\end{array}$

Vậy $n=0$

Nếu đề là: Tìm $n$ để $4n+3$ và $2n+3$ là hai số nguyên tố cùng nhau

Giải thích các bước giải:

Đặt $x$ là $ƯC\{4n+3;2n+3\}$ $(x∈\mathbb{N})$

Ta có:

$⇒\left\{ \begin{array}{l}4n+3\vdots x\\2n+3 \vdots x\end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l}4n+3\vdots x\\4n+6\vdots x\end{array} \right.$

$⇒4n+6-4n-3\vdots x$

$⇒-3\vdots x$ (Mà $x∈\mathbb{N}$)

$⇒x∈\{1;3\}$

Mà để $4n+3$ và $2n+3$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $x\neq3$ 

$⇒\left\{ \begin{array}{l}4n+3\not{\vdots} 3\\2n+3 \not{\vdots} 3\end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l}4n\not{\vdots} 3\\2n\not{\vdots}3\end{array} \right.⇒n\neq 3k(k∈\mathbb{N})$

Vậy để $4n+3$ và $2n+3$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $n\neq 3k(k∈\mathbb{N})$