`a)` Ta có:

`\hat{BAE}=90°` (vì $AE\perp AB$)

`\hat{MAH}=180°`

`<=>\hat{MAE}+\hat{BAH}+\hat{BAE}=180°`

`=>\hat{MAE}+\hat{BAH}=180°-\hat{BAE}=90°`

$∆ABH$ vuông tại $H$

`=>\hat{BAH}+\hat{HBA}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{MAE}=\hat{HBA}`

+) Xét $∆AME$ và $∆BHA$ có:

`\hat{AME}=\hat{BHA}=90°`

`AE=AB`(gt)

`\hat{MAE}=\hat{HBA}` (c/m trên)

`=>∆AME=∆BHA(ch-gn)`

`=>EM=AH` (hai cạnh tương ứng)

`\qquad AM=BH` (hai cạnh tương ứng)

`=>EM+BH=AH+AM=HM` (đpcm)

$\\$

+) Chứng minh tương tự ta có:

$∆ANF=∆CHA(ch-gn)$

`=>FN=AH` (hai cạnh tương ứng)

`\qquad AN=CH` (hai cạnh tương ứng)

`=>FN+CH=AH+AN=HN` (đpcm)

$\\$

`b)` Xét $∆IEM$ và $∆IFN$ có:

`IM=IN` ($I$ là trung điểm $MN$)

`\hat{IME}=\hat{INF}=90°`

`EM=FN=AH` (đã c/m câu a)

`=>∆IEM=∆IFN(c-g-c)`

`=>\hat{EIM}=\hat{FIN}` (hai góc tương ứng)

Ta có:

`\hat{EIM}+\hat{MIF}=\hat{FIN}+\hat{MIF}=\hat{NIM}=180°`

`=>E;I;F` thẳng hàng (đpcm)

$\\$

`c)` Gọi $P$ là giao điểm của $BO$ và $AC$; $Q$ là giao điểm của $CO$ và $AB$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác

+) Xét $∆OAP$ có:

`OA<OP+AP`

`=>OB+OA<OB+OP+AP`

`=>OB+OA<BP+AP`

Xét $∆BCP$ có:

`BP<BC+CP`

`=>BP+AP<BC+CP+AP`

`=>BP+AP<BC+AC`

`=>OB+OA<BC+AC` $(1)$

$\\$

Chứng minh tương tự ta có:

`OC+OA<AH+HC<AB+BC` $(2)$

`OB+OC<CQ+BQ<AB+AC` $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>2(OA+OB+OC)<2(AB+BC+AC)`

`=>OA+OB+OC<AB+BC+AC` $(4)$

+) Áp dụng bất đẳng thức tam giác 

Xét $∆OAB$ ta có:

`AB<OA+OB`

Xét $∆OAC$ ta có:

`AC<OA+OC`

Xét $∆OBC$ ta có:

`BC<OB+OC`

`=>AB+BC+AC<2(OA+OB+OC)` $(5)$

Từ `(4);(5)=>OA+OB+OC<AB+BC+AC<2(OA+OB+OC)` (đpcm)