a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}={{15}^{2}}-{{9}^{2}}=144$

$\to AC=12cm$

b)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta AEC$ vuông tại $A$, ta có:

+   $AC$ là cạnh chung

+   $AB=AE$ ($A$ là trung điểm $BC$)

$\to \Delta ABC=\Delta AEC\left( cgv-cgv \right)$

c)

$\Delta BEC$ có hai đường trung tuyến $BH,CA$ cắt nhau tại $M$

$\to M$ là trọng tâm của $\Delta BEC$

$\to CM=\dfrac{2}{3}CA=\dfrac{2}{3}\cdot 12=8cm$

d)

Vì $AK//CE$

$\to \widehat{KAC}=\widehat{ACE}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{ACE}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC=\Delta AEC$)

$\to \widehat{KAC}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta KAC$ cân tại $K$

$\to KA=KC$

Từ $\widehat{KAC}=\widehat{ACB}$

Mà: $\widehat{KAC}+\widehat{KAB}=90{}^\circ $

Và $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90{}^\circ $

$\to \widehat{KAB}=\widehat{ABC}$

$\to \Delta KAB$ cân tại $K$

$\to KA=KB$

$\to KC=KB$

$\to K$ là trung điểm $BC$

$\to EK$ là đường trung tuyến của $\Delta BCE$

Mà $\Delta BCE$ có $M$ là trọng tâm

Nên $E,M,K$ thẳng hàng