Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`ΔABC` vuông tại `A` có : `BC^2=AC^2+AB^2` ( Pytago )

`=> BC^2=12^2+9^2`

`=> BC^2=225`

`=> BC=15`

`----`

`ΔEDF` vuông có `hat{F}=45^o`

`=> ΔEDF` vuông cân tại `D`

`=> DE=DF=3`

`ΔEDF` vuông có `EF^2=ED^2+DF^2`

`=> EF^2=3^2+3^2`

`=> EF^2=18`

`=> EF=\sqrt{18}=3\sqrt{2}`

`----`

`ΔGHK` cân có `hat{H}=60^o`

`=> ΔGHK` đều

`=> GH=HK=GK=4`

`=> HM=MK=2`

`ΔGHK` cân có `GM` là trung tuyến

`=> GM` đồng thời là đường cao

`ΔGMK` vuông có `GH^2=GM^2+HM^2`

`=> GM^2=GH^2-HM^2=4^2-2^2=12`

`=> GM=\sqrt{12}=2\sqrt{3}`

`----`

`ΔMNP` vuông có `hat{M}=45^o`

`=> ΔMNP` vuông cân tại `N`

`=> NM=NP`

`ΔMNP` vuông có `MP^2=MN^2+NP^2`

`=> 32^2=MN^2+NP^2`

`=> 32^2=2MN^2`

`=> MN^2=512`

`=> MN=NP=16\sqrt{2}`

`a)ΔABC` vuông tại `A`, theo định lí Py-ta-go ta có:

`AB^2+AC^2=BC^2`

`→9^2+12^2=BC^2`

`→BC^2=225=15^2`

`→BC=15(cm)`

Vậy `BC=15cm`

`b)ΔDEF` cân tại `D` mà `\hat{F}=45^o →ΔDEF` vuông cân tại `D`

`→DE=DF=3cm`

Xét `ΔDEF` cân tại D, theo định lí Py-ta-go ta có:

`DE^2+DF^2=EF^2`

`→EF^2=3^2+3^2`

`→EF^2=18=3\sqrt{2}(cm)`

Vậy `DF=3cm;EF=3\sqrt{2}cm`

`c)ΔGHK` có `GH=GK→` là `Δ` cân

mà có `\hat{H}=60^o →` là `Δ` đều

`→GH=GK=HK=4cm`

Gọi `I` là trung điểm của `HK→GI` là trung tuyến, đồng thời là đường cao

`→HI=IK=(GK)/2=2(cm)`

Xét `ΔGHI` vuông tại `I`, theo định lí Py-ta-go ta có:

`GI^2+HI^2=GH^2`

`→GI^2=GH^2-HI^2`

`→GI^2=4^2-2^2`

`→GI=2\sqrt{3}(cm)`

`d)ΔMNP` vuông tại `N` mà `\hat{M}=45^o`

`→ΔMNP` vuông cân tại `N`

`→MN=MP`

Xét `ΔMNP` vuông tại `N`, theo định lí Py-ta-go ta có:

`MN^2+NP^2=MP^2`

`→2MN^2=32^2`

`→MN^2=512`

`→MN=16\sqrt{2}(cm)`

Vậy `MN=NP=16\sqrt{2}cm`