`a)` Xét $∆BDF$ và $∆EFD$ có:

`\hat{BDF}=\hat{EFD}` (hai góc so le trong do $EF$//$AB$)

$DF$ là cạnh chung 

`\hat{BFD}=\hat{EDF}` (hai góc so le trong do $DE$//$BC$)

`=>∆BDF=∆EFD`(g-c-g)

`=>BD=EF` (hai cạnh tương ứng)

Mà $BD=AD$ (vì $D$ là trung điểm $AB$)

`=>AD=EF` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $DE$//$BC$ (gt)

`=>\hat{ADE}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị)

Vì $EF$//$AB$ (gt)

`=>\hat{EFC}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị)

`=>\hat{ADE}=\hat{EFC}`

Xét $∆ADE$ và $∆EFC$ có:

`\hat{ADE}=\hat{EFC}` (c/m trên)

`AD=EF` (câu a)

`\hat{DAE}=\hat{FEC}` (hai góc đồng vị do $EF$//$AB$)

`=>∆ADE=∆EFC`(g-c-g)

`=>AE=EC` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

`c)` `∆ADE=∆EFC ` (câu b)

`=>DE=FC` (hai cạnh tương ứng)

Mà $∆BDF=∆EFD$ (câu a)

`=>FB=DE` (hai cạnh tương ứng)

`=>FB=FC`

Vì $F$ nằm hai điểm $B$ và $C$

`=>F` là trung điểm $BC$

`=>FB=FC=1/ 2 BC`

`=>DE=1/ 2 BC` (đpcm)

$\\$

Vì  $BD=EF=AD$ (đã c/m câu a)

Mà $D$ là trung điểm $AB$ (gt)

`=>BD=1/ 2 AB`

`=>EF=1/ 2 AB` (đpcm)

$ a)$ 

$\text{ Xét Δ ABC có:} $

`D` là trung điểm `AB`

`DE//BC` và `E∈AC`

`toDE` là đường trung bình của `triangle ABC`

`toE` là trung điểm của `AC` `(1) `

mà `EF////AB` `(2)`

 Từ `(1)` và `(2)`

`to` `EF` là đường trung bình của `triangle ABC`

`to EF////AB`,  `EF =` $\dfrac{1}{2}$ `AB =AD = BD`

                                  `to EF = AD` (đpcm)

`b)` 

` AE = EC` (do `E` là trung điểm `AC`)

`c)`

 Ta có: `DE` là đường trung bình của `triangle ABC`

`DE////BC, DE=1/2 BC` (đpcm)  

`to` `EF =1/2 AB` (đpcm)