a) $ \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AC = AB$

Xét $\Delta ABG $ và $ \Delta AIC$, ta có:

$ AB = AC \\ \widehat {AIC} = \widehat {AGB}( = {90^ \circ }) \\ $

$\widehat A$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABG = \Delta AIC$

$ \Rightarrow BG = CI$

b) $CI; BG$ là đường cao 

$H = CI \cap BG$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH$ là đường cao của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ cân

$\Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {HAG}$

Xét $\Delta AIH $ và $ \Delta AGH$, ta có:

$ \widehat {IAH} = \widehat {HAG} \\ \widehat {AIH} = \widehat {AGH}( = {90^ \circ }) \\ $

$AH$ là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta AIH = \Delta AGH$

$ \Rightarrow IH = GH$

Xét $\Delta IHB $ và $ \Delta GHC$, ta có:

$ IH = GH \\ \widehat {BIH} = \widehat {HGC}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {IHB} = \widehat {GHC} \\ $

$\Rightarrow HB = HC$

$\Rightarrow BHC $ cân tại $H$

c) $AB = AC$

$\Rightarrow A$ cách đều $B$ và $C$

$HB = HC$

$\Rightarrow H$ cách đều $B$ và $C$

Vậy $AH$ là trung trực của $BC$

d)$ \Delta IHB = \Delta GHC \\ \Rightarrow AI = AG \\ AB = AC \\ \Rightarrow IB = GC \\ $

Xét $\Delta BCK$, có $CG$ là đường cao

$GB = GK$

$CG$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta BCK$ là tam giác cân tại $C$

$ \Rightarrow \widehat {KCG} = \widehat {GCB} \\ \widehat {GCB} = \widehat {IBC} \\ \Rightarrow \widehat {KCG} = \widehat {IBC} \\ $

Xét $\Delta IBC $ và $ \Delta GCK$, ta có

$ \widehat {KCG} = \widehat {IBC} \\ GC = BI \\ \widehat {BIC} = \widehat {CGK}( = {90^ \circ }) \\ $

$ \Rightarrow \Delta IBC = \Delta GCK$

$ \Rightarrow \widehat {GKC} = \widehat {BCI}$