`a)` `AB=6cm;BC=8cm;AC=10cm`

Ta có: 

`AB^2+BC^2=6^2+8^2=100`

`AC^2=10^2=100`

`=>AB^2+BC^2=AC^2`

`=>∆ABC` vuông tại $B$ (định lý Pytago đảo)

$\\$

`b)` $AD$ là phân giác của `\hat{BAC}` (gt)

`=>\hat{BAD}=\hat{CAD}=\hat{EAD}`

Xét $∆ABD$ và $∆AED$ có:

`\hat{ABD}=\hat{AED}=90°`

$AD$ là cạnh chung

`\hat{BAD}=\hat{EAD}` (c/m trên)

`=>∆ABD=∆AED`$(ch-gn)$

`=>AB=AE` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

`c)` `∆ABD=∆AED` (câu b)

`=>BD=ED` (hai cạnh tương ứng)

Xét $∆BDK$ và $∆EDC$ có:

`\hat{KBD}=\hat{CED}=90°`

$BD=ED$ (c/m trên)

`\hat{BDK}=\hat{EDC}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆BDK=∆EDC`$(g-c-g)$

`=>BK=EC` (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

`AK=AB+BK`

`AC=AE+EC`

Mà $AB=AE; BK=EC$ (đã c/m)

`=>AK=AC`

`=>∆AKC` cân tại $A$ (đpcm)

$\\$

`d)` $M$ là trung điểm $KC$ (gt)

`=>MK=MC`

Xét $∆AMK$ và $∆AMC$ có:

$AM$ là cạnh chung 

$AK=AC$ (câu c)

`MK=MC` (c/m trên)

`=>∆AMK=∆AMC`$(c-c-c)$

`=>\hat{MAK}=\hat{MAC}` (hai góc tương ứng)

`=>\hat{MAB}=\hat{MAC}`

Mà tia $AM$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AC$

`=>AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}`

Ta lại có `AD` là phân giác của `\hat{BAC}` (gt)

`=>A;D;M` thẳng hàng (đpcm)

Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé.

a) Ta có: `AB² + BC² = 6² + 8² = 100`

              `AC² = 10² = 100`

`=> AB² + BC² = AC²`

`=>` Tam giác ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo)   (đpcm)

b) Ta có: DE _|_ AC tại E `=>` Góc AED = 90 độ

               tam giác ABC vuông tại B (chứng minh trên) `=>` Góc ABC = 90 độ

=> Góc AED = góc ABC = 90 độ

Xét tam giác ABD và tam giác ADE có:

Góc AED = góc ABC = 90 độ (chứng minh trên)

Góc BAD = góc DAE (vì AD là tia phân giác của góc A)

AD là cạnh chung

`=>` Tam giác ABD = tam giác AED (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AB = AE` (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

c) Ta có: tam giác ABD = tam giác AED (chứng minh trên)

=> BD = DE (2 cạnh tương ứng)

Lại có: Góc CED = 90 độ (vì DE _|_ AC tại E)

           DB _|_ AK tại B `=>` Góc DBK = 90 độ

=> Góc CED = góc DBK

Xét tam giác BDK và tam giác CDE có:

Góc BDK = góc CDE (2 góc đổi đỉnh)

BD = DE (chứng minh trên)

Góc CED = góc DBK (chứng minh trên)

`=>` Tam giác BDK = tam giác EDC (g.c.g)

`=> BK = CE` (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = BE (chứng minh trên)

`=> AB + BK = AE + CE`

`=> AK = AC`

`=>` Tam giác ACK cân tại A (dấu hiệu nhận biết)   (đpcm)

d) Vì M là trung điểm của CK `=> KM = CM`

Xét tam giác AKM và tam giác ACM có:

AK = AC (chứng minh trên)

AM là cạnh chung

KM = CM (chứng minh trên)

`=>` Tam giác AKM = tam giác ACM (c.c.c)

`=>` Góc AMK = góc AMC

Mà góc AMK + góc AMC = 180 độ (2 góc kề bù)
`=>` Góc AMK = góc AMC = 180 độ : 2 = 90 độ

`=>` AM _|_ CK tại M  (1)

Ta có: tam giác BDK = tam giác EDC (chứng minh trên)

`=> DK = CD` (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác DKM và tam giác CDM có:

DM là cạnh chung

DK = CD (chứng minh trên)

KM = CM (chứng minh trên)

`=>` Tam giác DKM = tam giác DCM (c.c.c)
`=>` Góc DMK = góc CMD (2 góc tương ứng)

Lại có: góc DMK + góc CMD = 180 độ (2 góc kề bù)

`=>` Góc DMK = góc CMD = 180 độ : 2 = 90 độ

`=>` DM _|_ CK tại M  (2)

Từ (1), (2) => 3 điểm A, D, M thẳng hàng   (đpcm)

Chúc bạn học tốt!