a)$ \Delta ABC \bot A \\ \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} \\ = {5^2} - {3^2} \\ = 25 - 9 \\ = 16 \\ \Rightarrow AC = \sqrt {16} = 4(cm) \\ AB < AC < BC \\ \Rightarrow \widehat {ACB} < \widehat {ABC} < \widehat {BAC} \\ $

b) Xét $\Delta ABM $ và $ \Delta DBM$, ta có: 

$ AB = B{\text{D}} \\ \widehat {BAM} = \widehat {B{\text{D}}M}( = {90^ \circ }) \\ $

$BM$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DBM(ch - cgv)$

$ \Rightarrow MA = M{\text{D}}$

Xét $\Delta MAN $ và $ \Delta M{\text{D}}C$, ta có:

$ \widehat {AMN} = \widehat {DMC} \\ \widehat {NAM} = \widehat {M{\text{D}}C}( = {90^ \circ }) \\ MA = M{\text{D}} \\ $

$ \Rightarrow \Delta MAN = \Delta M{\text{D}}C(g - c - g)$

$\Rightarrow {\text{MN = MC}}$

$\Rightarrow \Delta MNC$ cân tại $M$

c)$ \Delta ABM = \Delta DBM \\ \Rightarrow \widehat {NBM} = \widehat {MBC} \\ $

$\Rightarrow BM$ là đường phân giác của $\Delta BCN$

Có $CA, ND$ là đường cao

$M = CA \cap N{\text{D}}$

$\Rightarrow BM$ là đường cao của $\Delta BCN$

$\Rightarrow \Delta BNC$ cân tại $B$

$\Rightarrow BM$ là đường trung tuyến  của $\Delta BCN$(1)

$IN = IC$

$\Rightarrow BI$ là đường trung tuyến  của $\Delta BCN$(2)

Từ (1)(2), suy ra $B;M;I$ thẳng hàng

Gửi bạn