Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a)`

Áp dụng pitago cho `ΔABC⊥A`

⇒`BC^2=AB^2+AC^2`

Thay số vào 

`⇒5^2=3^2+AC^2`

⇒`AC^2=5^2-3^2`

⇒`AC=4 cm`

`b)`

Xét `ΔHAB và ΔACB`có:

    `hat(BHA)=hat(BAC)=90^o(ΔABC⊥A;AH⊥BC)`

     `hat(ABC)`chung

⇒`ΔHAB~ΔACB(g,g)`

⇒`(AH)/(AC)=(AB)/(BC)` ( t ứng tỉ lệ)

⇒`AH=AC. (AB)/(BC)=4. 3/5=2,4 cm`

`c)`

Xét `ΔAHC và ΔBAC` có:

`hat(BCA)`chung

`hat(AHC)=hat(BAC)=90^o(ΔABC⊥A;AH⊥BC)`

⇒`ΔAHC~BAC(g,g)`

⇒`(HC)/(AC)=(AC)/(BC)`( t ứng tỉ lệ)

⇒`AC^2=CH.BC`

`d)`

Vì `D` là trung điểm của `BH`

    `E` là trung điểm của `AH`

⇒`DE` là đường trung bình `ΔBHE`

⇒`DE//BA`

mà `BA⊥AC(ΔABC⊥A)`

⇒`DE⊥AC⇒DE` là đường cao `ΔDAC`

có `AH⊥BC⇒AH` là đường cao `ΔDAC`

Mà `AH` cắt `DE` tại `E`

⇒`E  là trực tâm `ΔDAC`

⇒`CE` là đường cao `ΔDAC`

⇒`CE⊥AD`

`d)` Xét `ΔHAB` có 

`D` là trung điểm của `BH`

`E` là trung điểm của `AH`

`→` `DE` là đường trung bình của `ΔHAB`

`→` `DE``/``/``AB`

Mà `AB⊥AC`

`→` `DE⊥AC`

Xét `ΔADC` có:

`AH` là đường cao ứng với cạnh `DC`

`DE` là đường cao ứng với cạnh `AC`

Mà `AH` cắt `DE` tại `E`

`→` `E` là giao điểm của `3` đường cao

`→` `AD⊥CE`