Đáp án+Giải thích các bước giải:

$mx-x-m-1=0\\ \Leftrightarrow mx-x=m+1\\ \Leftrightarrow (m-1)x=m+1$

Xét thấy $m=1$ không là nghiệm của phương trình

Với $m \ne 1$, chia cả hai vế cho $m-1$ ta được:

$x=\dfrac{m+1}{m-1}$

$\circledast$ Phương trình có nghiệm dương

$\Rightarrow x>0\\ \Leftrightarrow \dfrac{m+1}{m-1}>0 (1)$

BXD:

\begin{array}{|c|cc|} \hline m&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\\hline m+1&&-&0&+&|&+& \\\hline m-1&&-&|&-&0&+& \\\hline \dfrac{m+1}{m-1} &&+&0&-&\Bigg\|&+&\\\hline \end{array}

Dựa vào BXD $\Rightarrow$ Nghiệm của $(1): m  >1$ hoặc $m<-1$

$\circledast$ Phương trình có nghiệm nhỏ hơn $1$

$\Rightarrow x<1\\ \Leftrightarrow \dfrac{m+1}{m-1}<1\\ \Leftrightarrow \dfrac{m+1}{m-1}-1<0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{m-1}<0\\ \Leftrightarrow m-1<0\\ \Leftrightarrow m<1$

Kết hợp $2$ ý trên, ta có phương trình có nghiệm dương và nhỏ hơn $1$ khi $m<-1.$