`a)`

Vì $\triangle$ `ABC` cân tại `A`

`=>` `AB = AC` , $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$

Vì `AH` là đường cao 

`=>` `AH` $\bot$ `BC`

`=>` $\widehat{AHC}$ `=` $\widehat{AHB}$ `=` $90^o$

Xét $\triangle$ `ABH` và $\triangle$ `AHC` có: 

$\widehat{AHC}$ `=` $\widehat{AHB}$ `=` $90^o$

`AB = AC` 

$\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$

`=>` $\triangle$ `ABH` `=` $\triangle$ `AHC` (cạnh huyền góc nhọn) 

`b)`

Vì `A, H, E` thẳng hàng 

`=>` $\widehat{AHE}$ `=` $180^o$

mà $\widehat{AHC}$ `=` $90^o$

`=>` $\widehat{CHE}$ `=` $90^o$

`=>` `CH` $\bot$ `AE`

mà `CH` là đường trung tuyến ( `AH = EH` , `H` là trung điểm `AE` )

`=>` `CH` là đường trung trực của `AE`

`=>` `CA = CE` `=>` $\triangle$ `CAE` cân tại `C`

Xét $\triangle$ `CAE` cân tại `C` có `CH` là đường trung trực

`=>` `CH` là tia phân giác của $\widehat{ACE}$

HOẶC 

Xét $\triangle$ `CAH` và $\triangle$ `CEH` có:

$\widehat{AHC}$ `=` $\widehat{CHE}$ `=` $90^o$

`AH = HE` (gt) 

`CH` chung

`=>` $\triangle$ `CAH` `=` $\triangle$ `CEH` (c.g.c)

`=>` $\widehat{ACH}$ `=` $\widehat{ECH}$ 

`=>` `CH` là tia phân giác của $\widehat{ACE}$

`c)`

Ta có: `AN = 2MC`

`=>` `AN = 2/3 AC` 

Mà `AC` là trung tuyến của `BF` do `C` là trung điểm `BF` ( `CF = CB` ) 

`=>` `N` là trọng tâm $\triangle$ `ABF`

Vì $\triangle$ `ABH` `=` $\triangle$ `AHC`

`=>` `BH = CH = 1/2 BC` 

Mà `BC = BF`

`=>` `CH = 1/2 CF = 1/3 FH`

Mà `FH` là đường trung tuyến do `H` là trung điểm `AE` ( `AH = EH` ) 

`=>` `C` là trọng tâm của $\triangle$ `AEF`

Mà `E, C, M` thẳng hàng

`=>` `EM` là trung tuyến của `AF`

`=>` `M` là trung điểm `AF`

`=>` `BM` là trung tuyến của `AF` tại $\triangle$ `ABF`

Mà `N` là trọng tâm $\triangle$ `ABF` (cmt) 

`=>` `B, N, M` thẳng hàng 

`a)`

Vì $\triangle$ `ABC` cân tại `A`

`=>` `AB = AC`   ;   $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$

Vì `AH` là đường cao ứng với cạnh `BC` của `ΔABC`

`=>` `AH` $\bot$ `BC` tại `H`

`=>` $\widehat{AHC}$ `=` $\widehat{AHB}$ `=` $90^o$

Xét $\triangle$ `ABH` và $\triangle$ `AHC` có: 

$\widehat{AHC}$ `=` $\widehat{AHB}$ `=` $90^o$

`AB = AC` 

$\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$

`=>` $\triangle$ `ABH` `=` $\triangle$ `AHC` `(` cạnh huyền `-` góc nhọn `) `

`b)`

Xét $\triangle$ `CAH` và $\triangle$ `CEH` có:

$\widehat{AHC}$ `=` $\widehat{CHE}$ `=` $90^o$

`AH = HE` (gt) 

`CH` chung

`=>` $\triangle$ `CAH` `=` $\triangle$ `CEH` `( c.g.c ) `

`=>` $\widehat{ACH}$ `=` $\widehat{ECH}$ 

`=>` `CH` là tia phân giác của $\widehat{ACE}$

`c)`

Ta có: `AN = 2NC`

`=>` `AN = 2/3 AC` 

Mà `AC` là trung tuyến của `BF` do `C` là trung điểm của `BF` `(` vì `CF = CB` `) `

`=>` `N` là trọng tâm của $\triangle$ `ABF`

Vì $\triangle$ `ABH` `=` $\triangle$ `AHC`

`=>` `BH = CH = 1/2 BC` 

Mà `BC = BF`

`=>` `CH = 1/2 CF = 1/3 FH`

Mà `FH` là đường trung tuyến do `H` là trung điểm của `AE` `(` vì `AH = EH` `) `

`=>` `C` là trọng tâm của $\triangle$ `AEF`

Mà `E, C, M` thẳng hàng

`=>` `EM` là trung tuyến của `AF`

`=>` `M` là trung điểm `AF`

`=>` `BM` là trung tuyến của `AF` tại $\triangle$ `ABF`

Mà `N` là trọng tâm $\triangle$ `ABF` (cmt) 

`=>` `B, N, M` thẳng hàng `.`