Giải thích các bước giải:

Ta có:

$x^3-2mx^2+mx+m-1=0$ 

$\to (x^3-1)-(2mx^2-mx-m)=0$

$\to (x^3-1)-m(2x^2-x-1)=0$

$\to (x-1)(x^2+x+1)-m(x-1)(2x+1)=0$

$\to (x-1)(x^2+x+1-m(2x+1))=0$

$\to (x-1)(x^2+x+1-2mx-m)=0$

$\to (x-1)(x^2+x(1-2m)+1-m)=0$

$\to x-1=0\to x=1$

Hoặc $x^2+x(1-2m)+1-m=0(*)$

a.Để phương trình có đúng $1$ nghiệm
$\to (*)$ có nghiệm kép $x=1$

$\to 1^2+1(1-2m)+1-m=0\to m=1$

Thử lại với $m=1\to (*)$ trở thành: $x^2-x=0\to x(x-1)=0\to x\in\{1,0\}$

$\to$Loại

b.Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt

$\to (*)$ có nghiệm kép khác $1$

$\to \Delta=0$

$\to (1-2m)^2-4(1-m)=0$

$\to m=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

c.Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt

$\to (*)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$

$\to \begin{cases}1^2+1(1-2m)+1-m\ne 0\\ \Delta>0\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 1\\(1-2m)^2-4(1-m)>0\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 1\\4m^2-3>0\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 1\\4m^2>3\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 1\\m^2>\dfrac34\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 1\\m<-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad hoặc\quad m>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$

$\to m<-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad hoặc\quad m>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$