Giải thích các bước giải:

Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ nhất là $x$(giờ)

        Thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ hai là $y$(giờ)

                        $(x;y>0)$

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$(bể)

Trong 1 giờ, vòi thứ hai chả được $\dfrac{1}{y}$(bể)

Vì cả hai vòi chảy chung thì sau $\dfrac{24}{5}$ giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{24}{5}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})=1$

$⇒\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}_{(1)}$

Vì vòi thứ nhất chảy sau $9$ giờ thì mở thêm vòi thứ hai thì sau $\dfrac{6}{5}$ giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{9}{x}+\dfrac{6}{5}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})=1$

$⇒\dfrac{9}{x}+\dfrac{6}{5x}+\dfrac{6}{5y}=1$

$⇒\dfrac{51}{5x}+\dfrac{6}{5y}=1_{(2)}$

Từ $(1);(2)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{51}{5x}+\dfrac{6}{5y}=1\end{array} \right.\text{(I)}$

Thay $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y}$ vào $\text{(I)}$, ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a+b=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{51}{5}a+\dfrac{6}{5}b=1\end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{6}{5}a+\dfrac{6}{5}b=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{51}{5}a+\dfrac{6}{5}b=1\end{array} \right.\\⇔\left\{ \begin{array}{l}-9a=-\dfrac{3}{4}\\\dfrac{6}{5}a+\dfrac{6}{5}b=\dfrac{1}{4}\end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l}a=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{12}+\dfrac{6}{5}b=\dfrac{3}{4}\end{array} \right. \\⇔\left\{ \begin{array}{l}a=\dfrac{1}{12}\\b=\dfrac{1}{8}\end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\end{array} \right.\\⇒\left\{ \begin{array}{l}x=12_{(tm)}\\y=8_{(tm)}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy vòi thứ hai chảy một mình thì sau $8$ giờ đầy bể

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x(giờ, x > 9)$

và thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y(giờ, y > \dfrac{24}{5})$

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy một mình được $\dfrac{1}{x} (bể)$

Trong một giờ vòi thứ hai chảy một mình được $\dfrac{1}{y} (bể)$

Trong một giờ hai vòi chảy được $\dfrac{5}{24} (bể)$

Do đó: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} (1)$

Trong $9h$ vòi thứ nhất chảy một mình được $\dfrac{9}{x} (bể)$

Trong $\dfrac{6}{5}h$ hai vòi chảy được $\dfrac{6}{5} . \dfrac{5}{24} = \dfrac{1}{4} (bể)$

Theo bài ra ta có: $\dfrac{9}{x} + \dfrac{1}{4} = 1 (2)$

Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{9}{x} + \dfrac{1}{4} = 1 \\\end{cases}$

⇔$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} \\ x = 12 \\\end{cases}$

⇔ $\begin{cases} \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} \\ x = 12 \\\end{cases}$

⇔ $\begin{cases} y = 8 \\ x = 12 \\\end{cases} (T/m)$

Vậy thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $8h$