Suy luận:

$\,\,\,\,\,\,\widehat{MAN}=\widehat{BAD}$

$\to \widehat{NAD}=\widehat{BAM}$

$\to \widehat{NAD}=\widehat{MAD}$

$\to $chứng minh $AD$ là tia phân giác $\widehat{MAN}$

$\Delta ABC$ có 3 đường cao $AD,BE,CF$

Sẽ chứng minh được 1 bài toán quen thuộc:

$DA$ là tia phân giác $\widehat{FDE}$

$\to DA$ là tia phân giác $\widehat{MDN}$

Mặt khác:

$\begin{cases}MN\,\,||\,\,BC\\AD\bot BC\end{cases}\to MN\bot AD$

Vậy $AD$ là đường trung trực của $MN$

$\to AD$ là tia phân giác $\widehat{MAN}$

$\to $ đpcm

$∆ABC$ có $3$ đường cao $AD;BE;CF$

Xét tứ giác $ACDF$ có:

`\hat{ADC}=\hat{AFC}=90°`

`=>ACDF` nội tiếp

`=>\hat{BDF}=\hat{BAC}` $(1)$

Xét tứ giác $AEDB$ có:

`\hat{AEB}=\hat{ADB}=90°`

`=>AEDB` nội tiếp

`=>\hat{CDE}=\hat{BAC}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{BDF}=\hat{CDE}`

Ta có: `\hat{ADB}=\hat{ADC}=90°`

`<=>\hat{BDF}+\hat{FDA}=\hat{CDE}+\hat{EDA}`

`=>\hat{FDA}=\hat{EDA}`

`=>DA` là phân giác `\hat{FDE}`

`=>DA` là phân giác `\hat{MDN}`

Vì `AD`$\perp BC$; $MN$//$BC$

`=>AD`$\perp MN$

Gọi $I$ là giao điểm $AD$ và $MN$

$∆MDN$ có $DI$ vừa là đường cao và phân giác

`=>∆MDN` cân tại $D$

`=>DI` là trung tuyến $∆MDN$

`=>I` là trung điểm $MN$

Xét $∆AMN$ có $AI$ vừa là đường cao và trung tuyến 

`=>∆AMN` cân tại $A$

`=>AI` đồng thời là phân giác `\hat{MAN}`

`=>\hat{MAI}=\hat{NAI}`

$AM$ là phân giác `\hat{BAD} ` (gt)

`=>\hat{BAM}=\hat{MAI}=\hat{NAI}`

`=>\hat{MAN}=\hat{MAI}+\hat{NAI}=2\hat{MAI}=\hat{BAD}` 

Vậy `\hat{MAN}=\hat{BAD}` (đpcm)