a)*Xét ΔMAC và ΔMDB 

Ta có :  MA = MD(gt)

          ∠AMC = ∠BMD(2 góc đối đỉnh)

            BM = MC(M là TĐ của BC)

⇒ΔMAC = ΔMDB(c.g.c)

b) ⇒ ∠ACM = ∠MBD(2 góc t/ứng)

mà 2 góc này ở vị trị trong

⇒ AC // BD(dhnb 2 đ/t //)

c)Vì ΔMAC = ΔMDB(c/m t) ⇒AC = BD(2 cạnh t/ứng)      (1)

*Xét ΔEBN và ΔACN

Ta có : NE = NC(gt)

          ∠ENB=∠ANC(2 góc đối đỉnh)

           AN=NB(N là TĐ của AB)

⇒ BE = AC(2 cạnh t/ứng)             (2)

Từ (1),(2) ⇒ BE = BD

                ⇒ B là TĐ của đoạn thẳng DE(đpc/m)

d)Có : ΔEBN và ΔACN(c/m t) ⇒∠EBN = ∠CAN(2 góc t/ứng)        (3)

*Xét ΔAEN và ΔBCN

Ta có : AN = NB(N là TĐ của AB)

        ∠ANE = ∠BNC(2 góc đối đỉnh)

          NE=NC(gt)

⇒  ΔAEN = ΔBCN(c.g.c)

⇒ ∠NBC = ∠NAE(2 góc t/ứng)             (4)

Từ (3),(4)⇒∠NAE + ∠CAN = ∠NBC + ∠EBN

              ⇒     ∠CAE            =      ∠EBC   (đpcm)

Đáp án:

a)

Xét $\triangle MAC$ và $\triangle MDB$ có

$MB=MC$

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$

$MA=MD$

$\Rightarrow \triangle MAC=\triangle MDB$ (c.g.c)

b)

Do $\triangle MAC=\triangle MDB$ 

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MDB}$

mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AC//BD$

c)

Tương tự ta cũng có $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CDM}$

mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AB//CD$

Tương tự ta chứng minh được $\triangle ANC=\triangle BNE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{NCA}=\widehat{NEB}$

mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AC//EB$

mà $AC//BD$ (cmt)

$\Rightarrow E,B,D$ thẳng hàng

Xét $\triangle DEC$ có

$N$ là trung điểm của $EC$

$AB//CD$

$\Rightarrow B$ là trung điểm của đoạn $DE$

d)

Tương tự ta cũng chứng minh được $\triangle ANE=\triangle BNC$

$\Rightarrow \widehat{AEN}=\widehat{BCN}$

Xét $\triangle EAC$ và $\triangle CBE$ có

$EC$ chung

$\widehat{AEN}=\widehat{BCN}$

$\widehat{NCA}=\widehat{NEB}$

$\Rightarrow \triangle EAC=\triangle CBE$ (g.c.g)

$\Rightarrow \widehat{CAE}=\widehat{EBC}$