`\text{Bài 1: (Hình 1)}`

$a)$ `\text{Xét ∆ADE và ∆BDC có}`

    `\text{AD = DC (gt)}`

     $\widehat{ADE} = \widehat{BDC}$ $(Đối đỉnh)$

     $\widehat{DAE} = \widehat{DCB}$ `\text{(So le trong bằng nhau vì AE // BC)}`

`\text{=> ∆ADE = ∆BDC (g.c.g)}`

`\text{=> AE = BC (2 cạnh tương ứng)}`

$b)$ `\text{Xét ∆NDA và ∆MDC có}`

    `\text{AD = DC (gt)}`

     $\widehat{ADN} = \widehat{MDC}$ $(Đối đỉnh)$

     $\widehat{DAN}$ $= \widehat{DCM}$ `\text{(So le trong bằng nhau vì AN // MC)}`

`\text{=> ∆ADN = ∆DCM (g.c.g) (1)}`

`\text{=> ND = MC (2 cạnh tương ứng)}`

`\text{=> D là trung điểm của MN}`

$c)$ `\text{Từ (1) =>}` $\widehat{DNA}$ $= \widehat{DMC}$

$Có$ $\widehat{DNA} = \widehat{DMC}$ `\text{(#)}`

$\widehat{DNA} + \widehat{DME} = \widehat{DMC} + \widehat{DMB} = 180°$ $(2$ $cặp$ $góc$ $kề$ $bù)$ `\text {(##)}`

`text{Từ (#), (##) =>}` $\widehat{DNE} = \widehat{DMB}$

`\text{Xét ∆NDE và ∆MDB có}`

    `\text{ND = MC (Từ b)}`

     $\widehat{EDN} = \widehat{MDB}$ $(Đối đỉnh)$

  $\widehat{DNE} = \widehat{DMB}$ $(cmt)$

`\text{=> ∆NDE = ∆MDB (g.c.g)}`

`\text{=> ED = BD (2 cạnh tương ứng)}`

`\text{Xét ∆ADB và ∆CDE có}`

    `\text{AD = DC (gt)}`

     $\widehat{ADB} = \widehat{CDE}$ $(Đối đỉnh)$

`\text{=> ED = BD (cmt)}`

`\text{=> ∆ADB = ∆CDE (g.c.g)}`

`\text{=>}` $\widehat{ABD} = \widehat{DEC}$ $(2$ $góc$ $tương$ $ứng)$

`\text{=> AB // EC (Cặp góc so le trong bằng nhau)}`

`\text{Bài 2: (Hình 2)}`

`\text{Xét ∆ABD và ∆EBD có}`

   `\text{AB = EB (gt)}`

   $\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ $(gt)$

   `\text{BD: Cạnh chung}`

`\text{=> ∆ABD = ∆EBD (c.g.c)}`

$b)$ `\text{Gọi O là giao điểm của BD và AE}`

`\text{Xét ∆ABO và ∆EBO có}`

   `\text{AB = EB (gt)}`

   $\widehat{ABO} = \widehat{EBO}$ $(gt)$

   `\text{BO: Cạnh chung}`

`\text{=> ∆ABD = ∆EBO (c.g.c) (#)}`

`\text{Từ (#) => AO = EO (2 cạnh tương ứng) (1)}`

`\text{Từ (#) =>}` $\widehat{BOA} = \widehat{BOE}$ `\text {(2 góc tương ứng)}`

`\text{Mà}` $\widehat{BOA} + \widehat{BOE} = 180°$ $(Kề$ $bù)$ 

`\text{=>}` $\widehat{BOA} = \widehat{BOE} = 90°$ $(2)$

`\text{Từ (1) và (2) => OB là đường trung trực của AE}`

`\text{Mà BO ∈ BD => BD là đường trung trực của AE}`

$c)$ $Có$ $\widehat{FDI}$ đối đỉnh với $\widehat{EDB}$

$\widehat{CDI}$ đối đỉnh với $\widehat{ADB}$

$\widehat{EDB} = \widehat{ADB}$

$=>$ $\widehat{FDI} = \widehat{CDI}$ 

$Có$ $\widehat{BED} = \widehat{BAD}$ $= 90°$ `\text{(Từ #)}`

$Mà$ $\widehat{BED}$ và $\widehat{CED}$ $là$ $cặp$ $góc$ $kề$ $bù$ 

$=>$ $\widehat{CED} = 90°$

`\text{Xét ∆ADF và ∆EDC có}`

    $\widehat{FDA} = \widehat{CDE}$ $(Đối$ $đỉnh)$

   $AD$ $=$ $ED$ $(Từ$ $#)$

  $\widehat{DAF} = \widehat{DEC} = 90$ $(cmt)$

`\text{=> ∆ADF = ∆EDC (g.c.g)}`

`\text{=> DF = DC (2 cạnh tương ứng)}`

`\text{Gọi I là giao điểm của BD và CE}`

`\text{Xét ∆FDI và ∆CDI có}`

   `\text{DF = DC (cmt)}`

   $\widehat{FDI} = \widehat{CDI}$ $(cmt}$

  `\text{DI: Cạnh chung}`

`\text{=> ∆FID = ∆CID (c.g.c) (##)}` 

`\text{Từ (##) => FI = CI (2 cạnh tương ứng) (*)}`

`\text{Từ (##) =>}` $\widehat{DIF} = \widehat{DIC}$ `\text {(2 góc tương ứng)}`

`\text{Mà}` $\widehat{DIF} + \widehat{DIC} = 180°$ $(Kề$ $bù)$

`\text{=>}` $\widehat{DIF} = \widehat{DIC} = 90°$ $(**)$

`\text{Từ (*) và (**) => DI đi qua đường trung trực của FC}`

`\text{Mà DI ∈ DB => DB đi qua đường trung trực của FC}`