Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AQB,\Delta HQB$ có:

Chung $BQ$

$\widehat{AQB}=\widehat{BQH}=90^o$

$QA=QH$

$\to\Delta AQB=\Delta HQB(c.g.c)$

$\to BH=BA$

Xét $\Delta AKB,\Delta EKC$ có:

$KB=KC$ vì $K$ là trung điểm $BC$

$\widehat{AKB}=\widehat{CKE}$

$KA=KE$

$\to\Delta AKB=\Delta EKC(c.g.c)$

$\to AB=CE$

$\to BH=CE$

b.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, \hat B=60^o$
$\to\Delta ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$

$\to AB=\dfrac12BC=BK$ vì $K$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta ABK$ cân tại $B$

Mà $\widehat{ABK}=\hat B=60^o$

$\to\Delta ABK$ đều

c.Ta có $\Delta ABC$ là nửa tam giác đều

$\to BC=2AB=12, AC=AB\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

Lại có $AQ\perp BC, \widehat{ABQ}=60^o\to\Delta ABQ$ là nửa tam giác đều cạnh $AB$

$\to AQ=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Ta có $\Delta ABK$ đều

$\to AK=AB=6$

d.Xét $\Delta AQK,\Delta KQH$ có:

Chung $QK$

$\widehat{AQK}=\widehat{KQH}(=90^o)$

$QA=QH$

$\to\Delta AQK=\Delta HQK(c.g.c)$

$\to KA=KH$

Lại có: $KA=KE$

$\to KA=KH=KE$

$\to\Delta AKH,\Delta KHE$ cân tại $K$

$\to \widehat{KAH}=\widehat{KHA},\widehat{KHE}=\widehat{KEH}$

$\to \widehat{AHE}=\widehat{AHK}+\widehat{KHE}=\widehat{KAH}+\widehat{KEH}=180^o-\widehat{AHE}$

$\to 2\widehat{AHE}=180^o$

$\to \widehat{AHE}=90^o$

$\to AH\perp HE$

Lại có $AH\perp BC\to BC//HE\to QK//HE$