Đáp án:

a)

Xét $\triangle BHA$ và $\triangle AIC$ có

$\widehat{BHA}=\widehat{AIC}=90^0$

$AB=AC$

$\widehat{BAH}=\widehat{ICA}$ (cùng phụ với $\widehat{IAC}$)

$\Rightarrow \triangle BHA=\triangle AIC$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BH=AI$

b)

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$

$M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow AM=BM$

$\Rightarrow \triangle ABM$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{MBA}=\dfrac{180^0-\hat{BMA}}{2}$ (1)

Xét $\triangle BDA$ và $\triangle ANC$ có

$AB=AC$

$\widehat{BAH}=\widehat{ICA}$

$\widehat{ABD}=\widehat{NAC}=45^0$

$\Rightarrow \triangle BDA=\triangle ANC$ (g.c.g)

$\Rightarrow BD=AN$

$\Rightarrow DM=NM$

$\Rightarrow \triangle AMN$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MDN}=\widehat{MND}=\dfrac{180^0-\hat{BMA}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MDN}=\widehat{MBA}$

mà chúng ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow DN//AB$

mà $AB\bot AC$

$\Rightarrow DN\bot AC$

c)

Ta có: $\triangle BHD=\triangle AIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow IN=DH$ và $\widehat{BDH}=\widehat{ANI}$

Ta có:

$\widehat{BDH}+\widehat{HDM}=180^0$

$\widehat{INA}+\widehat{INM}=180^0$

mà $\widehat{BDH}=\widehat{ANI}$

$\Rightarrow \widehat{INM}=\widehat{HDM}$

Xét $\triangle IMN$ và $\triangle HMD$ có

$NM=DM$

$IN=DH$

$\widehat{INM}=\widehat{HDM}$

$\Rightarrow \triangle IMN=\triangle HMD$ (c.g.c)

$\Rightarrow MI=MH$ và $\widehat{MIN}=\widehat{MHD} $

Do $MI=MH$ nên $\Rightarrow \triangle HMI$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MHD}=\widehat{HIM}$

mà $\widehat{MIN}=\widehat{MHD} $

$\Rightarrow \widehat{HIM}=\widehat{MIN}$

$\Rightarrow IM$ là phân giác của $\widehat{HIC}$