1) ${{n}^{5}}-n\,\,\,\vdots \,\,\,240$

Đặt:

$S={{n}^{5}}-n$

$S=n\left( {{n}^{4}}-1 \right)$

$S=n\left( {{n}^{2}}-1 \right)\left( {{n}^{2}}+1 \right)$

$S=n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( {{n}^{2}}+1 \right)$

$n-1\,\,,\,\,n\,\,,\,\,n+1$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3

Vậy $S$ luôn chia hết cho $6$

Khi:

$n=5k\to S\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$n=5k+1$$\to n-1=5k\,\,\,\vdots \,\,\,5\to S\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$n=5k+2\to {{n}^{2}}+1=25{{k}^{2}}+20k+5\,\,\,\vdots \,\,\,5\to S\,\,\vdots \,\,\,5$

$n=5k+3\to {{n}^{2}}+1=25{{k}^{2}}+30k+10\,\,\,\vdots \,\,\,5\to S\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$n=5k+4\to n+1=5k+5\,\,\,\vdots \,\,\,5\to S\,\,\,\vdots \,\,\,5$

Vậy $S$ luôn chia hết cho $5$

$n$ là số lẻ $\to n=2k+1$

$S=\left( 2k+1 \right)\left( 2k \right)\left( 2k+2 \right)\left( 4{{k}^{2}}+4k+2 \right)$

$S=\left( 2k+1 \right)2.\left( k \right).2\left( k+1 \right).2\left( 2{{k}^{2}}+2k+1 \right)$

$S=8\left( 2k+1 \right)\left( k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+2k+1 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,8$

Vậy $S$ luôn chia hết cho 8

Kết luận

$S\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 6.5.8 \right)$

$S\,\,\,\vdots \,\,\,240$

2)

$7p+1$ là lập phương của số tự nhiên $\to p\ge0$

$\to 7p+1={{A}^{3}}$

$\to 7p={{A}^{3}}-1$

$\to 7p=\left( A-1 \right)\left( {{A}^{2}}+a+1 \right)$

Ta sẽ có 2 trường hợp như sau:

$T{{H}_{1}}:$$\begin{cases}A-1=7\\A^2+a+1=p\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=8\\p=73\end{cases}$

$T{{H}_{2}}:$ $\begin{cases}A^2+a+1=7\\A-1=p\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\p=1\end{cases}$ 

$T{{H}_{3}}:$$\begin{cases}A^3-1=0\\p=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=1\\p=0\end{cases}$

Vậy $p=0$   hoặc   $p=1$  hoặc  $p=73$ là các giá trị cần tìm