Vì $P(x)=ax^2+bx+c$ chia hết $3$ với mọi giá trị nguyên của $x$ nên $P(0);P(1);P(-1)$ đều chia hết $3$

Ta có:

`\qquad P(0)\ \vdots \ 3`

`=>a.0^2+b.0+c\ \vdots \ 3`

`=>c \ \vdots \ 3`

`\qquad P(1)\ \vdots \ 3`

`=>a.1^2+b.1+c\ \vdots \ 3`

`=>a+b+c\ \vdots \ 3`

Vì `c\ \vdots \ 3=>a+b\ \vdots \ 3` $(1)$

`\qquad P(-1)\ \vdots \ 3`

`=>a.(-1)^2+b.(-1)+c\ \vdots \ 3`

`=>a+b+c\ \vdots \ 3`

Vì `c\ \vdots \ 3=>a-b\ \vdots \ 3` $(2)$

Từ `(1);(2)=>a+b+a-b\ \vdots \ 3`

`=>2a \ \vdots 3`

Mà $ƯCLN(2;3)=1$`=>a\ \vdots \ 3`

Vì `a+b\ \vdots \ 3; a\ \vdots \ 3=>b\ \vdots \ 3`

Vậy `a;b;c` đều chia hết $3$ (đpcm)

Vì P(x) chia hết cho 3 với mọi x nên ta xét các trường hợp sau:

Ta có: P(0) chia hết cho 3. mà P(0) = c nên ta suy ra c chia hết cho 3

Ta có: P(1) chia hết cho 3. Mà P(1)=a+b+c nên ta suy ra a+b+c chia hết cho 3

Mặt khác: c chia hết cho 3 (đã chứng minh)

=> ra a+b chia hết cho 3

 Ta có ; P(2) chia hết cho 3. mà P(2)= 4a+2b+c=2a+2(a+b)+c

mà  c chia hết cho 3, a+b chia hết cho 3 ( đã chứng minh)

Nên suy ra 2a chia hết cho 3