a)

Có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to \widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $

$\to \widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{C}=90{}^\circ -30{}^\circ =60{}^\circ $

Xét $\Delta ABD$ có $AH$ vừa là đường cao, đường trung tuyến

$\to \Delta ABD$ cân tại $A$

Có $\widehat{B}=60{}^\circ \left( cmt \right)$

$\to \Delta ABD$ là tam giác đều

b)

Vì $\Delta ABD$ đều

$\to \widehat{BAD}=60{}^\circ $

$\to \widehat{DAC}=90{}^\circ -\widehat{BAD}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ $

$\to \widehat{DAC}=\widehat{DCA}=30{}^\circ $

$\to \Delta DAC$ cân tại $D$

$\to DA=DC$

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta CED$ vuông tại $E$, ta có:

+   $DA=DC\left( cmt \right)$

+   $\widehat{ADH}=\widehat{CDE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta AHD=\Delta CED\left( ch-gn \right)$

$\to AH=CE$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Có $\widehat{ADH}=60{}^\circ $ (vì $\Delta ABD$ đều)

$\to \widehat{HDE}=120{}^\circ $

Có $DH=DE$ (vì $\Delta AHD=\Delta CED$)

$\to \Delta DHE$ cân tại $D$

$\to \widehat{DHE}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{HDE}}{2}=\dfrac{180{}^\circ -120{}^\circ }{2}=30{}^\circ $

$\to \widehat{DHE}=\widehat{DCA}=30{}^\circ $

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to EH//AC$