Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé.

a) Do $AB$ là đường trung trực $MN$

$⇒AN=AM(1)$ (tính chất đường trung trực $1$ đoạn thẳng)

Do $AC$ là đường trung trực $MP$

$⇒AP=AM(2)$ (tính chất đường trung trực $1$ đoạn thẳng)

Từ $(1);(2)⇒AN=AP⇒ΔANP$ cân tại $A(đpcm)$

b) Do $AB$ là đường trung trực $MN$ mà $F∈AB$

$⇒FN=FM(1)$ (tính chất đường trung trực $1$ đoạn thẳng)

Do $AC$ là đường trung trực $MP$ mà $E∈AB$

$⇒EP=EM(2)$ (tính chất đường trung trực $1$ đoạn thẳng)

Xét $ΔANF$ và $ΔAMF$ có:

$AN=AM$ (câu $a$)

$AF$ chung

$NF=MF(cmt)$

$⇒ΔANF=ΔAMF$ (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠ANF=∠AMF(3)$ (2 góc tương ứng)

Xét $ΔAPE$ và $ΔAME$ có:

$AP=AM$ (câu $a$)

$AE$ chung

$PE=ME(cmt)$

$⇒ΔAPE=ΔAME$ (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠APE=∠AME(4)$ (2 góc tương ứng)

Do $ΔANP$ cân tại $A$ (câu $a$)

$⇒∠ANP=∠APN(5)$

Từ $(3);(4);(5)⇒∠AME=∠AMF⇒MA$ là phân giác $∠EMF(đpcm)$

c) Xét $ΔOB_1A$ vuông tại $B_1⇒OA^2=B_1A^2+B_1O^2$ (định lí Pytago)

$⇒B_1A^2=OA^2-B_1O^2(6)$

Xét $ΔOB_1C$ vuông tại $B_1⇒OC^2=B_1C^2+B_1O^2$ (định lí Pytago)

$⇒B_1C^2=OC^2-B_1O^2(7)$

Xét $ΔOC_1A$ vuông tại $C_1⇒OA^2=C_1A^2+C_1O^2$ (định lí Pytago)

$⇒C_1A^2=OA^2-C_1O^2(8)$

Xét $ΔOC_1B$ vuông tại $C_1⇒OB^2=C_1B^2+C_1O^2$ (định lí Pytago)

$⇒C_1B^2=OB^2-C_1O^2(9)$

Xét $ΔOA_1B$ vuông tại $A_1⇒OB^2=A_1B^2+A_1O^2$ (định lí Pytago)

$⇒A_1B^2=OB^2-A_1O^2(10)$

Xét $ΔOA_1C$ vuông tại $A_1⇒OC^2=A_1C^2+A_1O^2$ (định lí Pytago)

$⇒A_1C^2=OC^2-A_1O^2(11)$

Từ $(6);(9);(11)⇒AB_1^2+BC_1^2+CA_1^2=OA^2-B_1O^2+OB^2-C_1O^2+OC^2-A_1O^2(*)$

     $(7);(8);(10)⇒AC_1^2+BA_1^2+CB_1^2=OA^2-C_1O^2+OB^2-A_1O^2+OC^2-B_1O^2(**)$

Từ $(*);(**)⇒AB_1^2+BC_1^2+CA_1^2=AC_1^2+BA_1^2+CB_1^2(đpcm)$