Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC},\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

b.Gọ $AK$ là đường kính của $(O)\to BK\perp AB, CK\perp AC$

$\to BK//CH, CK//BH$
$\to BHCK$ là hình bình hành
$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $A'$ là trung điểm $BC$

$\to A'$ là trung điểm $HK$

Lại có $O$ là trung điểm $KA\to OA'$ là đường trung bình $\Delta AHK$
$\to AH=2OA'$

c. Ta có $\Delta AEF\sim\Delta ABC, A_1, A'$ là trung điểm $EF, BC$

$\to \Delta AA_1E\sim\Delta AA'B$

$\to \dfrac{AA_1}{AA'}=\dfrac{AE}{AB}=\cos\widehat{BAE}=\cos\widehat{BAC}=\cos\dfrac12\widehat{BOC}=\cos\widehat{BOA'}=\dfrac{OA'}{OB}=\dfrac{OA'}{R}$

$\to R.AA_1=AA'.OA'$

d.Gọi $Ad$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$

$\to \widehat{dAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$

$\to Ad//EF$
Mà $OA\perp Ad\to OA\perp EF$

$\to S_{AFOE}=\dfrac12OA.EF=\dfrac12REF$

Tương tự $S_{OFBD}=\dfrac12OB.FD=\dfrac12RFD$

                $S_{ODCE}=\dfrac12OC.ED=\dfrac12RED$

$\to S_{ABC}=S_{AFOE}+S_{OFBD}+S_{ODCE}=\dfrac12R(EF+FD+DE)$

$\to R(EF+FD+DE)=2S_{ABC}$

$\to$Để diện tích  $\Delta ABC$ lớn nhất

$\to \dfrac12AD\cdot BC$ lớn nhất

$\to AD$ lớn nhất

Mà $AD\le AA'\le AO+OA'=R+OA'$

$\to$Dấu = xảy ra khi $D\equiv A'\to A$ nằm giữa cung $BC$