Giải thích các bước giải:

1.Ta có $M$ nằm chính giữa cung $AB\to MA=MB$

$\to\widehat{ANM}=\widehat{MCB}$

$\to\widehat{INK}=\widehat{ICK}$

$\to CNKI$ nội tiếp

$\to C, N, K, I$ cùng thuộc một đường tròn

2.Ta có $N$ nằm chính giữa cung $BC\to NB=NC$

$\to \widehat{NBC}=\widehat{BMN}$

$\to\widehat{NBK}=\widehat{BMN}$

Mà $\widehat{BNK}=\widehat{BNM}$

$\to \Delta NBK\sim\Delta NMB(g.g)$

$\to \dfrac{NB}{NM}=\dfrac{NK}{NB}$

$\to NB^2=NK.NM$

3.Ta có $CIKN$ nội tiếp

$\to\widehat{KIN}=\widehat{KCN}=\widehat{BCN}=\widehat{BAN}$

$\to KI//AB$

$\to KI//BH$

Tương tự chứng minh được $IH//BC\to IH//BK$

$\to BHIK$ là hình bình hành

Mà $\widehat{BHK}=\widehat{HBM}+\widehat{HMB}=\widehat{ABM}+\widehat{BMN}=\widehat{MNB}+\widehat{CBN}=\widehat{KNB}+\widehat{KBN}=\widehat{HKB}$

$\to\Delta BHK$ cân tại $B$

$\to BH=BK$

$\to BHIK$ là hình thoi

4.Vì $DN$ là đường kính của $(O), N$ chính giữa cung $BC\to DN$ là trung trực của $BC$

Ta có $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MCK$

$\to \widehat{QCK}=90^o-\dfrac12\widehat{KQC}=90^o-\widehat{KMC}=90^o-\widehat{NMC}=90^o-\widehat{NDC}=\widehat{DNC}=\widehat{DBC}=\widehat{DCB}$

$\to D, Q, C$ thẳng hàng

$\to QK//BD$

Tương tự chứng minh được $D, P, B$ thẳng hàng và $PK//DC$

$\to DQ//PK, DP//QK$

$\to DPKQ$ là hình bình hành

$\to DK\cap PQ$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $E$ là trung điểm $PQ\to D, E, K$ thẳng hàng

Đáp án:

1) Ta có góc NIC = góc NKC (góc có đỉnh nằm trong đường tròn cùng chắn hai cung AM và NC). Suy ra tứ giác CNKI nội tiếp.
2) Tam giác NBK đồng dạng tam giác NMB (góc N chung, góc NBC = NMB, cùng chắn hai cung bằng nhau. Suy ra: NB/NM = NK/NB => ...
3) Góc IKC = góc INC hay góc ANC = góc IKC. Mà góc ANC = góc ABC, suy ra: góc ABC = góc IKC, suy raAB song song IK, hay HB song song IK
Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMHI nội tiếp, suy ra góc AHI = góc ABC, hay HI song song BK
Tứ giác HIKB là hình bình hành
Ta có AI và CM là các đường phân giác của tam giác ABC, cắt nhau tại I nên BI cũng là phân giác góc B.
Vậy BHIK là hình thoi

Giải thích các bước giải: