Giải thích các bước giải:

a.Trên tia đối của tia $IC$ lấy điểm $E$ sao cho $IC=IE$

Xét $\Delta IAE, \Delta IMC$ có:

$IE=IC$

$\widehat{AIE}=\widehat{MIC}$ (đối đỉnh)

$IA=IM$ vì $I$ là trung điểm $AM$

$\to\Delta IAE=\Delta MIC(c.g.c)$

$\to AE=CM, \widehat{IAE}=\widehat{IMC}\to AE//MC\to AE//BC$

Gọi $ME\cap AB=F$

Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=AE$

Xét $\Delta AFE,\Delta BFM$ có:
$\widehat{FEA}=\widehat{FMB}$ vì $AE//BC$

$AE=BM$

$\widehat{IAE}=\widehat{IBM}$

$\to \Delta AFE=\Delta BFM(g.c.g)$

$\to FA=FB$

$\to F$ là trung điểm $AB$

Xét $\Delta AEM$ có $I,F$ là trung điểm $AM, EM, EI\cap FA=D$

$\to D$ là trọng tâm $\Delta AEM$

$\to AD=\dfrac23AF$

Lại có $F$ là trung điểm $AB\to AB=2AF$

$\to AD=\dfrac13AB$

$\to AD-\dfrac13AD=\dfrac13AB-\dfrac13AD=\dfrac13(AB-AD)=\dfrac13DB$

$\to \dfrac23AD=\dfrac13DB$

$\to AD=\dfrac12BD$

b.Ta có $D$ là trọng tâm $\Delta AME$

$\to DI=\dfrac13IE=\dfrac13IC$

$\to DI+\dfrac13ID=\dfrac13IC+\dfrac13ID$

$\to \dfrac43ID=\dfrac13(IC+ID)$

$\to \dfrac43ID=\dfrac13CD$

$\to ID=\dfrac14CD$