c. 

+ Kẻ $AH ⊥ BC$.

⇒ $∆ABH  = ∆ACH$ (ch - gn).

⇒ $BAH = CAH$.                                       $(1)$

+ Đường vuông góc với $MN$ tại $I$ cắt $AH$ tại $O$.

⇒ $∆OAB = ∆OAC$ (c.g.c).

⇒ $OBA = OCA$.                                        $(2)$

+ Mặt khác: 

• $∆OBH = ∆OCH$ (hai cạnh góc vuông) ⇒ $OB = OC$.          $(I)$

• $∆OMI = ∆ONI$ (hai cạnh góc vuông) ⇒ $OM = ON$.           $(II)$

• $BM = CN$.                                                                                    $(III)$

+ Từ $(I), (II), (III)$ suy ra: $∆OBM = ∆OCN$ (c.c.c) ⇒ $OBM = OCN$.                                                                                        $(3)$

+ Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $OCA = OCN (= OBA) = 90°$ ⇒ $OA ⊥ AC$.

+ Vì $AC$ cố định mà $OC ⊥ AC$ ⇒ $O$ cố định.

+ Vậy đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $I$ luôn đi qua điểm $O$ cố định.