Đáp án:

a) $BK=CH$

b) $HC.AC=IC.BC$

c) $KH//BC$

d) $HK=\dfrac{2ab^2-a^3}{2b^2}$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle KBC$ và $\triangle HCB$:

$\widehat{BKC}=\widehat{CHB}\,\,\,(=90^o)$

$BC$: chung

$\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ (2 góc ở đáy của tam giác cân)

$\to\triangle KBC=\triangle HCB$ (ch - gn)

$\to BK=CH$ (2 cạnh tương ứng)

b)

Xét $\triangle HCB$ và $\triangle ICA$:

$\dfrac{CHB}=\widehat{CIA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{HCI}$: chung

$\to\triangle HCB\backsim\triangle ICA$ (g.g)

$\to\dfrac{HC}{IC}=\dfrac{BC}{AC}\\\to HC.AC=IC.BC$

c)

Ta có: $AB=AC$ (gt)

$\to AK+KB=AH+HC$

Mà $KB=HC$ (cmt)

$\to AK=AH$

$\to\triangle AKH$ cân tại A

$\triangle ABC$ cân tại A có đường cao AI (gt)

$\to$ AI đồng thời là phân giác của $\widehat{BAC}$

Hay AI là phân giác của $\widehat{KAH}$

$\to$ AI đồng thời là đường cao của KH

$\to AI\bot KH\\\to KH//BC$

d)

Ta có: $HC.AC=IC.BC$ (cmt)

$\to HC=\dfrac{IC.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC^2}{AC}=\dfrac{a^2}{2b}\\\to AH=AC-HC=b-\dfrac{a^2}{2b}=\dfrac{2b^2-a^2}{2b}$

Xét $\triangle ABC$:

$KH//BC$ (cmt)

$\to\dfrac{HK}{BC}=\dfrac{AH}{AC}\\\to HK=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{2b^2-a^2}{2b}.a}{b}=\dfrac{2ab^2-a^3}{2b^2}$