a) Xét $∆CAH$ và $∆CEH$ có:

$AC = CE\quad (gt)$

$\widehat{ACH}=\widehat{ECH}=\dfrac12\widehat{ACB}\quad(gt)$

$CH$ cạnh chung

Do đó $∆CAH=∆CEH\, (c.g.c)$

$\to \widehat{CEH}=\widehat{CAH}=90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\to HE\perp CE$

$\to HE\perp BC$

b) Ta có:

$∆CAH=∆CEH$ (câu a)

$\to \begin{cases}HA = HE\quad \text{(hai cạnh tương ứng)}\\\widehat{AHC}=\widehat{EHC}\quad \text{(hai góc tương ứng)}\\\to \widehat{AHI}=\widehat{EHI}\end{cases}$

Xét $∆HAI$ và $∆HEI$ có:

$AH = HE\quad (cmt)$

$\widehat{AHI}=\widehat{EHI}\quad (cmt)$

$HI$ cạnh chung

Do đó $∆HAI =∆HEI\, (c.g.c)$

$\to \widehat{HAI}=\widehat{HEI}$ (hai góc tương ứng)

c) Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ và $BC$

Xét $∆IAC$ và $∆IEC$ có:

$AC = CE\quad (gt)$

$\widehat{ACH}=\widehat{ECH}=\dfrac12\widehat{ACB}\quad(gt)$

$IC$ cạnh chung

Do đó $∆IAC=∆IEC\, (c.g.c)$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{IEC}$ (hai góc tương ứng)

$\to \widehat{DAC}=\widehat{KEC}$

Ta lại có:

$\widehat{KEC}+\widehat{KCE}=90^\circ\quad (∆KCE$ vuông tại $E)$

hay $\widehat{KEC}+\widehat{ACD}=90^\circ$

$\to \widehat{DAC} +\widehat{ACD}=90^\circ$

$\to \widehat{ADC}=90^\circ$

$\to HD\perp CD$

$\to AI\perp BC$

mà $HE\perp BC$ (câu a)

nên $HE//AI$

Ta có:

$\widehat{AIE}=\widehat{IDE} +\widehat{DEI}$ (góc ngoài của $∆DEI$)

$\to \widehat{AIE} -\widehat{DEI}=\widehat{IDE}=90^\circ$

Lại có:

$\widehat{DEI}=\widehat{ABC}$ (đồng vị)

nên $\widehat{AIE} -\widehat{ABC}=90^\circ$

Đáp án:

`↓↓`

Giải thích các bước giải: