1)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lý Pytago)

$\to A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16$

$\to AC=4cm$

Vậy $AB<AC<BC\,\,\,\left( 3cm<4cm<5cm \right)$

$\to \widehat{C}<\widehat{B}<\widehat{A}$

2)

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $A$ và $\Delta DBM$ vuông tại $D$, ta có:

+   $\widehat{BAM}=\widehat{BDM}=90{}^\circ $

+   $BM$ là cạnh cung

+   $AB=DB=3cm$

Nên $\Delta ABM=\Delta DBM\left( ch-cgv \right)$

Do đó $MA=MD$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta MAN$ vuông tại $A$ và $\Delta MDC$ vuông tại $D$, ta có:

+   $\widehat{AMN}=\widehat{DMC}$ (hai góc tương ứng)

+   $MA=MD\left( cmt \right)$

Nên $\Delta MAN=\Delta MDC\left( cgv-gn \right)$

Do đó $MN=MC$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta MNC$ cân tại $M$

3)

Vì $\Delta ABM=\Delta DBM\left( cmt \right)$

$\to \widehat{ABM}=\widehat{DBM}$

$\to BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$   $\left( 1 \right)$

Ta có:

$AB=DB$ (vì $\Delta ABM=\Delta DBM$)

$AN=DC$ (vì $\Delta MAN=\Delta MDC$)

$\to AB+AN=DB+DC$

$\to BN=BC$

$\to \Delta BNC$ cân tại $B$

Có $BI$ là đường trung tuyến

Nên $BI$ cũng là đường phân giác

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to BM\equiv BI$

$\to B,M,I$ thẳng hàng