Đáp án:

  4 và -4

Giải thích các bước giải:

 TH1: a+b+c+d khác 0

TC: (2a+b+c+d)/a=(a+2b+c+d)/b=(a+2b+c+d)/b=(a+b+c+2d)/d

=>((2a+b+c+d)/a)-1=((a+2b+c+d)/b)-1=((a+b+2c+d)/b)-1=((a+b+c+2d)/d)-1

=>(a+b+c+d)/a=(a+b+c+d)/b=(a+b+c+d)/c=(a+b+c+d)/d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(a+b+c+d)/a=(a+b+c+d)/b=(a+b+c+d)/c=(a+b+c+d)/d=(4(a+b+c+d))/(a+b+c+d)=4

Từ (a+b+c+d)/a=4=>a+b+c+d=4a (1)

Từ (a+b+c+d)/b=4=>a+b+c+d=4b (2)

Từ (a+b+c+d)/c=4=>a+b+c+d=4c (3)

Từ (a+b+c+d)/d=4=>a+b+c+d=4d (4)

Từ (1),(2),(3),(4) => 4a=4b=4c=4d => a=b=c=d

Thay vào M ta được : (a+a)/(a+a)+(a+a)/(a+a)+(a+a)/(a+a)+(a+a)/(a+a)

                                  = 1+1+1+1=4

TH2: a+b+c+d=0

=>a+b=-(c+d)

     b+c=-(d+a)

     c+d=-(a+b)

     d+a=-(b+c)

Thay vào M ta được:

 -(c+d)/(c+d)+-(d+a)/(d+a)+-(a+b)/(a+b)+-(d+a)/(b+c)

=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=(-4)

Đáp án: $M=4$ hoặc $M=-4$

Giải thích các bước giải:

Trường hợp $1: a+b+c+d=0$

$\to a+b=-(c+d)\to \dfrac{a+b}{c+d}=-1$

Tương tự chứng minh được $\dfrac{b+c}{d+a}=\dfrac{c+d}{a+b}=\dfrac{d+a}{b+c}=-1$

$\to M=-4$

Trường hợp $2: a+b+c+d\ne 0$

Ta có:

$\dfrac{2a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2d}{d}$

$\to \dfrac{a+b+c+d+a}{a}=\dfrac{a+b+c+d+b}{b}=\dfrac{a+b+c+d+c}{c}=\dfrac{a+b+c+d+d}{d}$

$\to \dfrac{a+b+c+d}{a}+1=\dfrac{a+b+c+d}{b}+1=\dfrac{a+b+c+d}{c}+1=\dfrac{a+b+c+d}{d}+1$

$\to \dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+d}{d}$

$\to a=b=c=d$

$\to \dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a+a}{a+a}=1$

Tương tự $\to \dfrac{b+c}{d+a}=\dfrac{c+d}{a+b}=\dfrac{d+a}{b+c}=1$

$\to M=4$