$1)a)Q=\dfrac{(-1)^2-2.(-1)}{-1-4}=\dfrac{-3}{5}\\ b)P.Q=\left(\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{x}{x^2-4}\right).\dfrac{x^2-2x}{x-4}\\ =\left(\dfrac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{x}{(x+2)(x-2)}\right).\dfrac{x(x-2)}{x-4}\\ =\dfrac{2(x-2)-x}{(x+2)(x-2)}.\dfrac{x(x-2)}{x-4}\\ =\dfrac{x-4}{(x+2)(x-2)}.\dfrac{x(x-2)}{x-4}\\ =\dfrac{x}{x+2}\\ c)P.Q>0\\ <=>\dfrac{x}{x+2}>0\\ <=>\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x>0\\ x+2>0\end{array} \right.\\ \left\{\begin{array}{l} x<0\\ x+2<0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ <=>\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x>0\\ x>-2\end{array} \right.\\ \left\{\begin{array}{l} x<0\\ x<-2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ <=>\left[\begin{array}{l} x>0\\x<-2\end{array} \right.$

$2)a)$Tứ giác $BDEF$

$BD//EF;ED//FB$

$=>BDEF$ là hình bình hành

$b)AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

$=>\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{D_1}(DE//AB)$

$=>\widehat{D_1}=\widehat{A_2}$

$=>\Delta AED$ cân tại $E$

$=>AE=ED$

Mà $ED=BF(BDEF$ là hình bình hành)

$=>AE=BF$

$c)E$ là trung điểm $DI$

$DE=IE=AE=>AE=\dfrac{1}{2}DI$

$\Delta DAI$ có trung tuyến $AE$ ứng với $DI$ và bằng 1 nửa $DI$

$=>\Delta DAI$ vuông tại $A$

$AI=\sqrt{DI^2-AD^2}=\sqrt{(2DE)^2-AD^2}=6(cm)$

$d)*)ADCI$ là hình chữ nhật

$=>AD \perp BC$

$AD$ vừa là đường phân giác vừa là đường cao

$=>\Delta ABC$ cân tại $A$

$*)\Delta ABC$ cân tại $A$

$=>AD$ vừa là đường phân giác vừa là đường trung tuyến, đường cao

$=>D$ là trung điểm $BC$

Xét $\Delta ABC$

$D$ là trung điểm $BC;DE//AB$

$=>E$ là trung điểm $AC$

Tứ giác $ADCI$ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và $\widehat{ADC}=90^o$

$=>ADCI$ là hình chữ nhật