`a)` Ta có: `ΔABC` vuông cân tại `A` ( gt )

`⇒` $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{ACB}$ `=` `45^o` ( tính chất )

`⇒` `AB=AC` ( tính chất )

Xét `ΔABM` và `ΔACM` có:

`AB=AC` ( cmt )

`AM` chung

`BM=MC` ( `M` là trung điểm )

`⇒ΔABM=ΔACM(c.c.c)`

`⇒` $\widehat{AMB}$ `=` $\widehat{AMC}$ ( góc tương ứng )

Mà $\widehat{AMB}$ `+` $\widehat{AMC}$ `=` `180^o` ( kề bù )

`⇒` $\widehat{AMB}$ `=` `90^o`

`⇒AM⊥BC` 

Xét `ΔAMB` vuông tại `M` có: 

$\widehat{BAM}$ `+` $\widehat{ABM}$ `=` `90^o` ( định lý )

Mà $\widehat{ABM}$ `=` `45^o` ( cmt )

`⇒` $\widehat{BAM}$ `=` `90^o - 45^o = 45^o`

Mà $\widehat{ACM}$ `=` `45^o` ( cmt )

`⇒` $\widehat{BAM}$ `=` $\widehat{ACM}$ 

Xét `ΔABH` vuông tại `H` có:
$\widehat{HBA}$ `+` $\widehat{BAH}$ `=` `90^o`
Mà $\widehat{BAH}$ `+` $\widehat{HAC}$ `=` `90^o` (gt)
`⇒` $\widehat{ABH}$ `=` $\widehat{HAC}$
Xét `ΔBHA` và `ΔAIC` có:
$\widehat{H}$ `=` $\widehat{AIC} `=` `90^o` (gt)

`AB=AC` ( cmt )
$\widehat{ABH}$ `=` $\widehat{HAC}$ (cmt)

`⇒ΔBHA =ΔAIC (ch-gn)`

`⇒ BH = AI` (cạnh tương ứng)

`b)` 

Ta có: $\widehat{DHM}$ `=` $\widehat{DIM}$ ( Cùng phụ `DM` )

Mà $\widehat{HMI}$ `=` $\widehat{HMB}$ `+` $\widehat{BMI}$ `=` $\widehat{AMI}$ `+` $\widehat{BMI}$ `=` $\widehat{AMB}$ `=` `90^o`

`⇒ΔMHI` vuông cân 

Đáp án:                           Bài giải

Xét tam giác ABH có:

Góc H = 90 độ
=> góc BAH + góc ABH = 90°
mà : góc BAH + góc HAC = 90° = góc A (gt)
=> góc ABH = góc HAC
Xét tam giác BHA và Tam giác AIC có:
AB = AC (gt)
góc H = góc AIC = 90° (gt)
góc ABH = góc HAC(c/m trên)
=>Tam giác BHA =Tam giác AIC (cạnh huyền-góc nhọn)
=> BH = AI (hai cạnh tương ứng)

=>Tam giác MHI vuông cân

Giải thích các bước giải:Chúc bạn học tốt!