Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AM,MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{MAO}=\widehat{MCO}=90^o$

$\to A, M, C,O\in$ đường tròn đường kính $MO$

b.Ta có $AM,MC$ là tiếp tuyến của $(O)\to MC=MA, OM$ là phân giác $\widehat{AOC}$

Tương tự $NC=NB, ON$ là phân giác $\widehat{COB}$

Mà $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^o\to OM\perp ON$

$\to \Delta OMN$ vuông tại $O$

Mà $OC\perp MN$

$\to CM.CN=OC^2=R^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to AM.BN=R^2$

c.Ta có $NC, NB$ là tiếp tuyến của $(O)\to NO$ là trung trực của $BC$
Mà $I\in NO\to IC=IB$

Ta có $NC$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{NCI}=\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

$\to CI$ là phân giác $\widehat{NCB}$

Tương tự $BI$ là phân giác $\widehat{NBC}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta NBC$

d.Ta có:

$P_{ABNM}=AB+BN+NM+MA=AB+(BN+MA)+MN=AB+(NC+MC)+MN=AB+MN+MN=AB+2MN$

Để $P_{ABNM}=18\to AB+2MN=18\to 6+2MN=18\to MN=6=AB$

$\to ABNM$ là hình chữ nhật

$\to OC\perp AB$ vì $OC\perp MN$

$\to C$ nằm giữa cung $AB$