a) Ta có: $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

b) Ta có:

$CD\perp AE\quad (gt)$

$\to OH\perp CD$

$\to CH = HD = \dfrac12CD$ (định lý đường kính - dây cung)

Xét tứ giác $ACED$ có:

$AH = HE = \dfrac12AE \quad (gt)$

$CH = HD = \dfrac12CD\quad (cmt)$

$CD\perp AE\quad (gt)$

Do đó $ACED$ là hình thoi

c) Ta có:

$ACED$ là hình thoi (câu b)

$\to DE//AC$

$\to DI//AC$

mà $AC\perp BC\quad (\widehat{ACB} =90^\circ)$

nên $DI\perp BC$

$\to ΔEBI$ vuông tại $I$

Gọi $K$ là trung điểm cạn huyền $BE$

$\to KE = KB = KI = \dfrac12BE$

$\to K$ là tâm đường tròn đường kính $EB\quad (1)$

Ta có:

Xét $ΔCDI$ vuông tại $I$ có:

$H$ là trung điểm cạnh huyền $CD$

$\to HC = HI = HD = \dfrac12CD$

$\to ΔHID$ cân tại $H$

$\to \widehat{HID} = \widehat{HDI} = \widehat{HDE}$

Xét $ΔEKI$ có: $KE = KI = \dfrac12EB$

$\to ΔEKI$ cân tại $K$

$\to \widehat{KEI} = \widehat{KIE} = \widehat{KID}$

mà $\widehat{KEI} = \widehat{HED}$

nên $\widehat{HED} = \widehat{KID}$

Ta có:

$\quad \widehat{HIK} = \widehat{HID} + \widehat{KID}$

$\to \widehat{HIK} =\widehat{HDE} + \widehat{HED}$

$\to \widehat{HIK} = 90^\circ \quad (ΔHDE$ vuông tại $H)$

$\to KI\perp HI\quad (2)$

$(1)(2)\to HI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $EB$

a) $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nhận $AB$ làm đường kính

⇒ $\Delta ABC$ vuông tại C (Đ/lí)
⇒ $\widehat{ACB} = 90^o$

b) Đtròn $(O)$ có: $CD$ là dây, $AB$ là đường kính (gt)
                              $AB ⊥ CD$ tại $H$

⇒ $H$ là trung điểm của $CD$ (quan hệ đường kính và dây)

Tứ giác $ACED$ có hai đường chéo $AE$ và $CD$ cắt nhau tại trung điểm $H$ mỗi đoạn 

⇒ Tứ giác $ACED$ là hình bình hành (dhnb)

Hình bình hành $ACED$ có $AB ⊥ CD$ tại $H$

⇒ Hbh $ACED$ là hình thoi (dhnb)

c) Gọi $M$ là trung điểm của EB

Vì tứ giác $ACED$ là hình thoi (cmt)

⇒ $AC // DE$
mà $AC ⊥ CB$ (Vì $\Delta ACB$ vuông tại $C$)

⇒ $DE ⊥ CB$ tại $I$ (quan hệ ⊥ và //)

⇒ $\Delta EIB$ vuông tại $I$ 

Mà $M$ là trung điểm của $EB$ 

⇒ $\Delta EIB$ nội tiếp đường tròn (M) (Định lí)

⇒ $I ∈ (M)^{(*)}$

Ta có: $AB ⊥ CD$ tại $H$

⇒ $\Delta DHE$ vuông tại $H$ 

⇒ $\widehat{HDE} + \widehat{HED} = 90^{o(1)}$

$\Delta CDI$ vuông tại I (do $DI ⊥ CB$) có $H$ là trung điểm của $CD$

⇒ $HI = HC = HD = \dfrac{CD}{2}$

⇒ $\Delta HID$ cân tại $H$ (đ/n)

⇒ $\widehat{HDE} = \widehat {HIE}^{(2)}$

Mặt khác $MI = ME (=bk)$

⇒ $\Delta IEM$ cân tại $M$

⇒ $\widehat{IEM} = \widehat{EIM}$

Mà $\widehat{IEM} = \widehat{HED}$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ $\widehat{EIM} = \widehat{HED}^{(3)}$

Từ (1); (2); (3) ⇒ $\widehat{HIE} + \widehat{EIM} = 90^o$

hay $\widehat{HIM} = 90^o$

⇒ $HI ⊥ IM $ tại $I ^{(**)}$

Từ (*) và (**) ⇒ $HI$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $EB$ (dhnb)