a)

Xét $\Delta AIB$ và $\Delta AIC$, ta có:

+   $AI$ là cạnh chung

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

+   $BI=CI$ (vì $I$ là trung điểm $BC$)

$\to \Delta AIB=\Delta AIC\left( c.c.c \right)$

$\to \widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AI\bot BC$

b)

Xét $\Delta ABC$, ta có:

+   $AI$ là đường trung tuyến (vì $I$ là trung điểm $BC$)

+   $CM$ là đường trung tuyến (vì $M$ là trung điểm $AB$)

Mà $AI$ cắt $CM$ tại $G$

$\to G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\to BG$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

c)

Vì $I$ là trung điểm $BC$

$\to BI=CI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{18}{2}=9cm$

Xét $\Delta AIB$ vuông tại $I$,

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{I}^{2}}+B{{I}^{2}}$ (Định lý Pytago)

$\to {{15}^{2}}=A{{I}^{2}}+{{9}^{2}}$

$\to A{{I}^{2}}={{15}^{2}}-{{9}^{2}}$

$\to A{{I}^{2}}=144$

$\to AI=12cm$

Do $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\to GI=\dfrac{AI}{3}=\dfrac{12}{3}=4cm$