Đáp án + giải thích các bước giải:

a) Gọi `AE∩BC={H}`

Xét `ΔEMA` và `ΔBMC`:

`+) MC=MA`

`+) \hat{EMA}=\hat{BMC}(=90^0)`

`+) ME=MB`

`->ΔEMA = ΔBMC (cgc)`

`->\hat{AEM}=\hat{CBM}` (cặp góc tương ứng)

mà `\hat{AEM}+\hat{EAM}=90^0`

`->\hat{EAM}+\hat{CBM}=90^0`

`->\hat{AHB}=90^0`

`->AE⊥BC`

b) Gọi `DM∩AC={O},EB∩MF={I}`

`->OD=OC=OA=OM,IE=IB=IM=IF` (giao điểm hai đường chéo của hình vuông)

Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có:

`OA=OC `

`->HO` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AC`

`->OH=OA=OC`

mà `OA=OC=OD=OM`

`->OH=OD=OM`

`->ΔDHM` vuông tại `H`

`->\hat{DHM}=90^0`

*) Chứng minh tương tự với `ΔHMF` có đường trung tuyến là `HI` có `\hat{MHF}=90^0`

`->\hat{DHM}+\hat{MHF}=90^0+90^0`

`->\hat{DHF}=180^0`

`->D,H,F` thẳng hàng

c) Gọi `DF∩AC={G}`

`\hat{AMB}=180^0 `

`->\hat{CMA}` và `\hat{CMB}` là hai góc kề bù 

mà `DM` là phân giác `\hat{CMA}` và `FM` là phân giác `\hat{CMB}` (đường chéo của hình vuông)

`-> DM⊥MF` (tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau)

`->` mà `OC⊥DM` (đường chéo hình vuông)

`-> MF////OC`

`->OG////MF`

mà `O` là trung điểm `DM` (giao hai đường chéo hình vuông)

`->G` là trung điểm của `DF`

Ta có: `\hat{IAB}=\hat{IBA}=45^0` (đường chéo của hình vuông)

`->ΔIAB` cân tại `I`

Kẻ `GJ⊥AB`

`->J` là trung điểm `AB`

`->IJ` là đường trung bình hình thang `ABDF (AD////BF` do cùng `⊥AB)`

`->IJ=(AD+BF)/2=(AM+MB)/2=(AB)/2`

`->DF` luôn đi qua điểm `I` cố định nằm trên đường trung trực của `AB` và cách `AB` một khoảng bằng `(AB)/2`