a) Xét $∆ABM$ và $∆DAN$ có:

$\widehat{A}=\widehat{D}=90^\circ$

$AB = AD\quad (ABCD$ là hình vuông$)$

$AM = DN=\dfrac12AD =\dfrac12DC$

Do đó $∆ABM=∆DAN\, (c.g.c)$

$\to \widehat{ABM}=\widehat{DAN}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{DAN} +\widehat{BAN}=\widehat{A}=90^\circ$

nên $\widehat{ABM}+\widehat{BAN}=90^\circ$

$\to BM\perp AN$

b) Ta có: $AB//DC\quad (ABCD$ là hình vuông$)$

$\to AB//NE$

Đặt $DE = EN = x$

$\to \begin{cases}NC = 2x\\EC = 3x\\CD = BC = AB = 4x\end{cases}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$BE^2 = BC^2 + CE^2 = 16x^2 + 9x^2 = 25x^2$

$\to BE = 5x$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{BJ}{JE}=\dfrac{AB}{EN}=\dfrac{4x}{x}= 4$

$\to BJ = \dfrac45BE = \dfrac45\cdot5x = 4x$

$\to BJ = AB = 4x$

$\to ∆ABJ$ cân tại $B$

Lại có: $BM\perp AJ$ (câu a)

$\to BM$ là trung trực của $AJ$

$\to AM = MJ$

Xét $∆ABM$ và $∆JBM$ có:

$AB = BJ\quad (cmt)$

$AM = MJ\quad (cmt)$

$BM:$ cạnh chung

Do đó $∆ABM =∆JBM\, (c.c.c)$

$\to \widehat{BJM}=\widehat{BAM}=90^\circ$

$\to MJ\perp BJ$

hay $MJ\perp BE$