Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHC,\Delta MHC$ có:
Chung $HC$
$\widehat{AHC}=\widehat{MHC}(=90^o)$ vì $AH\perp BC$
$HA=HM$
$\to \Delta AHC=\Delta MHC(c.g.c)$
$\to CA=CM$
b.Từ câu a $\to\widehat{ACH}=\widehat{MCH}\to\widehat{ACB}=\widehat{MCB}$
Xét $\Delta ABC,\Delta MBC$ có:
Chung $BC$
$\widehat{ACB}=\widehat{MCB}$
$CA=CM$
$\to\Delta ABC=\Delta MBC(c.g.c)$
Vì $\widehat{ACB}=\widehat{BCM}$
$\to CB$ là phân giác $\widehat{ACM}$
c.Ta có: $CB$ là phân giác $\widehat{ACM}\to CO$ là phân giác $\widehat{ACM}$
         $AO$ là phân giác $\widehat{HAC}\to AO$ là phân giác $\widehat{MAC}$
$\to O$ là giao ba đường phân giác $\Delta ACM$
$\to MO$ là phân giác $\widehat{AMC}$
d.Vì $AO$ là phân giác $\widehat{HAC}$
$\to \widehat{HAO}=\widehat{OAC}$
Ta có: $\widehat{HAB}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ACO}$
$\to \widehat{BAO}=\widehat{BAH}+\widehat{HAO}=\widehat{ACO}+\widehat{OAC}=\widehat{AOB}$
$\to \Delta ABO$ cân tại $B$
$\to BA=BO$
Xét $\Delta ABE,\Delta EBO$ có:
Chung $BE$
$\widehat{BAE}=\widehat{BOE}(=90^o)$
$BA=BO$
$\to \Delta ABE=\Delta OBE$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\to \widehat{ABE}=\widehat{OBE}$
$\to BE$ là phân giác $\widehat{ABO}$
Do $BA=BO\to \Delta ABO$ cân tại $B$
$\to \Delta ABO$ có đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến 
$\to BE$ là trung tuyến $\Delta ABO$
$\to $Trọng tâm $\Delta ABO$ thuộc $BE$
$\to BE$ đi qua trọng tâm $\Delta ABO$
$\to đpcm$