Giải thích các bước giải:

a.Ta có $A,D$ đối xứng qua $H\to H$ là trung điểm $AD$

            $B,M$ đối xứng qua $H\to H$ là trung điểm $BM$

$\to ABDM$ là hình bình hành

Mà $AH\perp BC\to AD\perp BM$

$\to ABDM$ là hình thoi

b.Vì $AH=3\to DH=AH=3$

Ta có:

$AD\perp BC\to S_{DBC}=\dfrac12\cdot DH\cdot BC=\dfrac12\cdot  3\cdot 5=\dfrac{15}{2}$

c.Ta có $ABDM$ là hình thoi

$\to DM//AB$

Mà $AB\perp AC\to DM\perp AC$

Lại có $AH\perp BC\to CH\perp AD$

          $M\in CH$

$\to M$ là trực tâm $\Delta ADC$

d.Vì $M$ là trực tâm $\Delta ADC$

$\to DM\perp AC\to MN\perp CN$

$\to\Delta MNC$ vuông tại $N$

Mà $I$ là trung điểm $MC$

$\to IN=IM=IC$

$\to\Delta INC$ cân tại $I$

Lại có $\Delta AND$ vuông tại $N,H$ là trung điểm $AD\to HN=HA=HD$

$\to\Delta HND$ cân tại $H$

$\to\widehat{INC}=\widehat{ICN}=\widehat{HCA}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{BAH}=\widehat{HDN}=\widehat{HND}$

$\to\widehat{HNI}=\widehat{HND}+\widehat{MNI}=\widehat{INC}+\widehat{MNI}=\widehat{MNC}=90^o$

$\to \Delta NHI$ vuông tại $N$