a) $\Delta ABC$ cân tại $A$

$ \Rightarrow AB = AC$

Xét $\Delta AHB $ và $ \Delta AHC$, ta có:

$ \widehat {AHB} = \widehat {AHC}( = {90^ \circ }) \\ AB = AC \\ $

$AH$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC$

b)

$ \Delta AHB = \Delta AHC \\ \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH} \\ \Rightarrow \widehat {MAH} = \widehat {MAN} \\ $

Xét $\Delta ANH $ và $ \Delta AMH$, ta có:

$ \widehat {AMH} = \widehat {ANH}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {MAH} = \widehat {MAN} \\ $

$AH$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta ANH = \Delta AMH$

$ \Rightarrow AM = AN$

$ c)H{\text{D}}//AB \\ \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {BAH} \\ $

Mà $ \widehat {BAH} = \widehat {CAH} \\ \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {CAH} \\ $

$\Rightarrow \Delta A{\text{D}}H$ cân tại $D$

d)$\Delta A{\text{D}}H$ cân tại $D$

$ \Rightarrow A{\text{D}} = DH(1) \\ H{\text{D}}//AB \\ \Rightarrow \widehat {CH{\text{D}}} = \widehat {CBA} \\ $

Mà $ \widehat {CBA} = \widehat {DCH} \\ \Rightarrow \widehat {CH{\text{D}}} = \widehat {DCH} \\ $

$ \Rightarrow \Delta DHC$ cân tại $H$

$ \Rightarrow H{\text{D}} = DC(2) \\ (1)(2) \Rightarrow DH = DC = A{\text{D}} \\ $

$\Rightarrow B{\text{D}}$ là đường trung tuyến

$ \Delta {\text{ABC}} $ cân tại $A$ $\Rightarrow {\text{AH}} $ là đường trung tuyến

${\text{G = AH}} \cap {\text{BD}}$

Vậy $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$