a,

$\cos\widehat{BAC}=\cos(\vec{AB},\vec{AC})=\dfrac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB.AC}$

$\vec{AB}(2+1; 0-3)=(3;-3)$

$\vec{AC}(1+1; 4-3)=(2;1)$

$\Rightarrow \cos\widehat{BAC}=\dfrac{3.2-3.1}{\sqrt{3^2+3^2}.\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

b,

$ABCD$ là hình bình hành khi $\vec{AB}=\vec{DC}$

$\Rightarrow \vec{DC}(3;-3)$

$\Rightarrow D(1-3; 4+3)=(-2;7)$

Đáp án:

a) $cos∠BAC=72^{o}_{}$

b) Tọa độ điểm $D$ là: $D(-2;7)$

Giải thích các bước giải:

a) $\overrightarrow{AB}=(3;-3)$

$\overrightarrow{AC}=(2;1)$

 $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = $|\overrightarrow{AB}|.$$|\overrightarrow{AC}|.cos∠ BAC$ $(1)$

 Mà $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}$

      $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

Từ $(1)$ ⇒ $cos∠BAC_{}$ = $\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}$ 

= $\dfrac{3.2+(-3).1}{3\sqrt{2}.\sqrt{5}}=\dfrac{3}{3\sqrt{10}}$ 

⇒ $cos∠BAC=72^{o}_{}$ 

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;-3)$

$\overrightarrow{AC}=(2;1)$

Ta có: $\dfrac{3}{2}$ $\neq$ $\dfrac{-3}{1}$ 

⇒ $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC}$

⇒ $A,B,C$ không thẳng hàng.

Gọi tọa độ điểm $D$ có dạng: $D(x;y)$

  Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành ⇔ $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\overrightarrow{DC}$

⇔ $(3;-3)=(1-x;4-y)_{}$ 

⇔ $\begin{cases} 1-x=3 \\ 4-y=-3 \end{cases}$

⇔ $\begin{cases} x=-2 \\ y=7 \end{cases}$

Vậy tọa độ điểm $D$ là: $D(-2;7)$