Đáp án:

GTLN của $A$ là $4032$, đạt đc khi $x \leq -672$.

Giải thích các bước giải:

 Ta có

$|a| - |b| \leq |a +b|$

Thật vậy. Bình phương 2 vế ta có

$a^2 + b^2 - 2|ab| \leq a^2 + b^2 + 2ab$

$\Leftrightarrow -|ab| \leq ab$

$\Leftrightarrow |ab| \geq ab$ đúng với mọi $ab$.

Dấu "=" xảy ra khi $ab \geq 0$

Ta có

$A = |3x-2016| - |3x+2016|$

$= |2016-3x| - |3x + 2016|$

$\leq |2016-3x + 3x + 2016| = 4032$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$|3x - 2016| - |3x + 2016| = 4032$

$\Leftrightarrow |x - 672| - |x + 672| = 1344$

TH1: $x \geq 672$

Khi đó ptrinh trở thành

$x - 672 - x - 672 = 1344$

$\Leftrightarrow -1344 = 1344$ (vô lý)

TH2: $-672 \leq x < 672$

Khi đó ptrinh trở thành

$672-x - x - 672 = 1344$

$\Leftrightarrow x = -672

TH3: $x < -672$

Khi đó ptrinh trở thành

$672-x + x + 672 = 1344$

$\Leftrightarrow 1344 = 1344$ (đúng với mọi $x$)

Vậy GTLN của $A$ là $4032$, đạt đc khi $x \leq -672$.