Đáp án:

a) $\triangle ABC\backsim\triangle HBA$

b) $AH^2=BH.CH$

c) $\triangle AEH\backsim\triangle AHC, AE.AC=HB.HC$

d) $AB=2\sqrt{13}cm, AC=3\sqrt{13}cm, DE=6cm$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle HBA$:

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABC}$: chung

$\to\triangle ABC\backsim\triangle HBA$ (g.g)

b)

$\triangle ABC\backsim\triangle HBA$ (cmt)

$\to\widehat{ACB}=\widehat{HAB}$

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle CHA$:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{HAB}=\widehat{HCA}$ (cmt)

$\to\triangle AHB\backsim\triangle CHA$ (g.g)

$\to\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\\\to AH^2=BH.CH$

c)

Xét $\triangle AEH$ và $\triangle AHC$:

$\widehat{AEH}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{EAH}$: chung

$\to\triangle AEH\backsim\triangle AHC$ (g.g)

$\to\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\\\to AH^2=AE.AC$

Mà $AH^2=BH.CH$ (cmt)

$\to AE.AC=BH.CH$

d)

Ta có:

$AH^2=BH.CH$ (cmt)

$\to AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{4.9}=6(cm)$

$\triangle HAC$ vuông tại H:

$AH^2+BH^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}(cm)$

$\triangle HAB$ vuông tại H:

$AH^2+CH^2=AC^2$ (định lý Pytago)

$\to AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}(cm)$

Xét $\triangle ADHE$:

$\widehat{DAE}=90^o$ (gt)

$\widehat{ADH}=90^o$ (gt)

$\widehat{AEH}=90^o$ (gt)

$\to$ Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\to AH=DE$

$\to DE=6cm$