Đáp án:

+) Mỗi tam giác được tạo thành từ $3$ đỉnh của đa giác là một tổ hợp chập $3$ của $12$.

Suy ra có tất cả $C^{3}_{12}$ tam giác. 

+) Số tam giác có $1$ cạnh là cạnh của đa giác, $2$ cạnh là đường chéo của đa giác là:

Chọn $1$ cạnh ($2$ đỉnh) của tam giác là cạnh của đa giác có $12$ cách 

Chọn $1$ đỉnh còn lại không kề với $2$ đỉnh đã cho có $8$ cách

Vậy có $12.8=96$ tam giác.

+) Số tam giác có $2$ cạnh là cạnh của đa giác, $1$ cạnh là đường chéo của đa giác là:

Chọn $1$ đỉnh của tam giác là $1$ đỉnh của đa giác có $12$ cách

Chọn $2$ đỉnh còn lại kề với đỉnh đã chọn có $1$ cách. 

Vậy có $12.1=12$ tam giác

+) Số tam giác có $3$ cạnh đều là đường chéo của đa giác là $C^{3}_{12}-96-12=112$.

Gọi biến cố $A: $ Chọn được tam giác có $3$ cạnh đều là đường chéo của đa giác.

Suy ra $n(A)=112$.

Không gian mẫu là $n(\Omega)=C^{3}_{12}$.

Vậy xác suất để chọn được một tam giác có $3$ cạnh là đường chéo của đa giác là:

\begin{align*} P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{112}{C^{3}_{12}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55} \end{align*}

Giải thích các bước giải:

+) Tính số tam giác được tạo thành từ $3$ đỉnh của đa giác.

+) Tính số tam giác có $3$ cạnh đều là đường chéo của đa giác.

+) Áp dụng công thức: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ trong đó 

$n(A)$ là số phần tử của tập hợp $A$.

$n(\Omega)$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.