a) Xét $\Delta ABC $ và $ \Delta NMC$, ta có:

$\widehat {MNC} = \widehat {BAC}( = {90^ \circ })$

$\widehat C$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta NMC(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{NM}} = \dfrac{{AC}}{{NC}} \\ \Rightarrow AB.NC = AC.NM \\ $

b)Xét $\Delta ABC $ và $ \Delta HBA$, ta có:

$\widehat {BHA} = \widehat {BAC}( = {90^ \circ })$

$\widehat B$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA(g - g)$

c) Xét $\Delta ABC $ và $ \Delta HAC$, ta có:

$\widehat {AHC} = \widehat {BAC}( = {90^ \circ })$

$\widehat C$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HAC(g - g)$

$ d)\Delta ABC \sim \Delta NMC(g - g) \\ \Delta ABC \sim \Delta HBA(g - g) \\ \Rightarrow \Delta NMC \sim \Delta HBA \\ \Rightarrow \dfrac{{NM}}{{HB}} = \dfrac{{MC}}{{BA}} \\ \Rightarrow NM.BA = HB.MC \\ e)\Delta ABC \sim \Delta NMC(g - g) \\ \Delta ABC \sim \Delta HAC(g - g) \\ \Rightarrow \Delta NMC \sim \Delta HAC \\ f)\Delta ABC \sim \Delta HAC(g - g) \\ \Delta ABC \sim \Delta HBA(g - g) \\ \Rightarrow \Delta HAC \sim \Delta HBA \\ \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HB}} = \dfrac{{HC}}{{HA}} \\ \Leftarrow A{H^2} = HB.HC \\ $

a)  Xét tam giác ABC và tam giác NMC có

    góc BAC = góc MNC (=90 độ)

    góc C chung

=) tam giác ABC đồng dạng tam giác NMC (g-g)

Vì tam giác ABC đồng dạng vs tam NMC (cmt)

=) AB/AC = NM/NC

=) AB . NC = AC . NM (đpcm)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có

   góc BAC = góc AHB (=90 độ)

   góc B chung

=) tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA (g-g)

c) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có

 góc BAC = góc AHC (=90 độ)

 góc C chung

=) tam giác ABC đồng dạng vs tam giác HAC (g-g)

d) ta có : góc ABH + góc BCA = 90 độ ( vì tam giác ABC vuông tại A)

               góc BAH + góc ABH = 90 độ ( vì tam giác AHB vuông tại H)

    =)  góc BAH = góc BCA

      Xét tam giác AHB và tam giác NMC có

          góc AHB = góc MNC (=90 độ)

          góc BAH = góc BCA ( cmt)

=) tam giác AHB đồng dạng tam giác NMC (g-g)

vì tam giác AHB đồng dạng tam giác NMC (cmt)

   =) MN/MC = HB/AB

    =) MN . BA = MC . HB ( đpcm)

e) Xét tam giác HAC và tam giác NMC có

    góc AHC=góc MNC (=90 độ)

   góc C chung

=) tam giác HAC đồng dạng tam giác NMC (g-g)

f) Xét tam giác AHB và tam giác AHC có

  góc AHB = góc AHC (=90 độ)

góc B =góc C ( vì tam giác ABC vuông tại A)

=) tam giác AHB đồng dạng tam giác AHC (g-g)

Vì tam giác AHB đồng dạng tam giác AHC

=) AH/HB = HC/AH

=) AH . AH = HB .HC

=) AH^2 = HB . HC ( đpcm)