Giải thích các bước giải:

a.Ta có $D,E,F$ là trung điểm $AB,AC,BC$

$\to DE,EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to DE//BC, DE=\dfrac12BC$ và $EF//AB, EF=\dfrac12AB$

$\to DEFB$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ đều

$\to AB=CB$

$\to DE=EF$

$\to BDEF$ là hình thoi

b. Ta có $E$ là trung điểm $AC$

             $D,M$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $DM$

$\to ADCM$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ đều, $D$ là trung điểm $AB\to CD\perp AB$

$\to ADCM$ là hình chữ nhật

c.Ta có $D,M$ đối xứng qua $E\to DM=2DE=BC$

Mà $DE//BC\to DM//BC\to DMCB$ là hình bình hành

$|to DM//BD\to DN//BD$

$\to \dfrac{FD}{FN}=\dfrac{FB}{FC}=1$ vì $F$ là trung điểm $BC$

$\to FD=FN$

$\to F$ là trung điểm $DN$

Ta có: $DN//DM\to FC//DM$

Mà $F$ là trung điểm $DN\to FC$ là đường trung bình $\Delta NDM\to C$ là trung điểm $MN$

Lại có $DC\perp MN\to \Delta DMN$ cân tại $D$

Lại có $\widehat{DMC}=\widehat{DAC}=60^o$ vì $ADCM$ là hình chữ nhật

$\to \Delta DMN$ đều

$\to MF\perp DN$ vì $F$ là trung điểm $DN$

$\to\Delta FMN$ vuông

d.Ta có $DMCB$ là hình bình hành

$\to CD\cap BM$ tại trung điểm mỗi đường

Gọi $CD\cap BM=I\to I$ là trung điểm $CD,BM$

Ta có $DE//BC, DE=\dfrac12BC$

Vì $F$ là trung điểm $BC\to DE//CF, DE=CF\to DECF$ là hình bình hành

$\to CD\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm $CD$

$\to I$ là trung điểm $EF$

Ta có $BDEF$ là hình thoi

$\to FD\perp EB$

Ta có $\Delta ABC$ đều, $E$ là trung điểm $AC\to BE\perp AC$

Mà $MF\perp FN\to MF\perp FD$

$\to PEQF$ là hình chữ nhật

$\to EF\cap PQ$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I $ là trung điểm $EF\to I$ là trung điểm $PQ$

$\to EF,CD, BM, PQ$ đồng quy tại $I$