$a)$ Vì $BD=BA\Rightarrow \Delta BAD$ cân tại $B\\$Mà $BE$ là tia phân giác của $\widehat{BAD}$$\\$ $\Rightarrow BE$ cũng là đường cao $\Rightarrow BE\bot AD\\b)$ Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BDE$ có:$\\\qquad BA=BD(gt)\\\qquad \widehat{ABE}=\widehat{DBE}\\\qquad BE \text{-cạnh chung}\\\Rightarrow\Delta BAE=\Delta BDE(c-g-c)\\\qquad\Rightarrow EA=ED\\c)$Ta có $BF=BA+AF\\BC=BD+DC\\$ mà $BA=BD, AF=DC(gt)$$\\\Rightarrow BF=BC$$\Rightarrow\Delta BFC$ cân tại $B$ ,có $BE$ là phân giác $\Rightarrow BE $ là đường trung trực của $FC$$\\\Rightarrow EF=EC\\d)$ Gọi $E'=AC\cap DF$$\\$ Ta có $AD//FC ($cùng vuông góc với $BE)\\\Rightarrow\frac{AD}{FC}=\frac{AE'}{E'C}(1)\\$ Xét $\Delta BFC $ có $AD//FC \Rightarrow\frac{AD}{FC}=\frac{BA}{BF}(2)$ $\\$ Xét $\Delta ABC$ có phân giác $BE$$\\\Rightarrow\frac{AE}{EC}=\frac{BA}{BC}=\frac{BA}{BF}(3)$$\\$ Từ $(1),(2),(3)\Rightarrow \frac{AE'}{E'C}=\frac{AE}{EC}\\\Rightarrow E\equiv E'$$\\$ Mà $E'\in DF\Rightarrow E\in DF$$\\$$\Leftrightarrow F,E,D$ thẳng hàng